Anwendungsaufgabe - Marsmission

Question

Aufgabe:

Bei einer Marsmission landet eine Versorgungskapsel am Fallschirm. Einige Meter über dem Boden wird der Schirm abgesprengt. Die gepolsterte Kapsel stürzt nun im Freien Fall zu Boden. Ihre Höhe wird dabei durch h(t)=-0,4t^2-5t+44,4 erfasst (t: Sek., h: Meter)

a) Aus welcher Höhe stürzt die Kapsel herunter?

b) Wie lange dauert der Sturz?

c) Welche Geschwindigkeit hat die Kapsel beim Absprengen des Fallschirms?

d) Die Kapsel kann beschädigt werden, wenn die Aufprallgeschwindigkeit mehr als 51,4km/h beträgt. Ist die Kapsel in Gefahr?

e) Aus welcher Maximalhöhe darf die Kapsel fallen, ohne dass eine Beschädigung auftritt?

Problem/Ansatz:

Ich habe bei Teilaufgabe a) 0 für t eingesetzt, weil die Kapsel ja in Sekunde 0 herunterstürzt.

Bei Teilaufgabe b) habe ich die Nullstelle berechnet (143,75s)

Ich weiß leider nicht, ob das bis hierhin richtig ist und wie es weitergeht..

Answer 1

Falls die Zeitmessung im Moment des Absprengens beginnt (ist zwar anzunehmen, hätte aber in der vom Autor schlampig gestellten Aufgabe erwähnt werden müssen), ist tatsächlich h(0)=44,4 (m) die Lösung.

Die Idee mit der Nullstelle ist ebenfalls richtig, aber du solltest das Lösen quadratischer Gleichungen üben. Die gesuchte Nullstelle ist 6 und nicht 147,75.

Für c) berechne die Ableitung bei t=0.

Für d) berechne die Ableitung für t=6 und wandle das Ergebnis von m/s in km/h um, um vergleichen zu können.

Comments

Vielen Dank! Die quadratische Gleichung habe ich nun richtig gelöst und 6 herausbekommen. Inwiefern sagt die erste Ableitung für die dritte Teilaufgabe aber etwas über die Geschwindigkeit aus? Und welche Einheit schreibe ich dahinter?

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Es kommt auch eine negative Zahl raus (c). Kann das sein?

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Irgendwie kommt bei der d auch was Negatives raus (-35,28km/h)

Answer 2

h(t)=-0,4*t^2 - 5*t + 44.4 erfasst (t: Sek., h: Meter)
a) Aus welcher Höhe stürzt die Kapsel herunter?

h ( 0 ) = 44.4 m

b) Wie lange dauert der Sturz?
-0.4*t^2 - 5*t + 44.4 = 0
t = 6

c) Welche Geschwindigkeit hat die Kapsel beim
Absprengen des Fallschirms?

h ´ (t) = -0,8*t - 5
h ´ (0) = - 5 m/sec = v

d) Die Kapsel kann beschädigt werden, wenn die Aufprallgeschwindigkeit mehr als 51,4km/h beträgt. Ist die Kapsel in Gefahr?

h ´ ( 6 ) = -0.8 * 6 - 5  = - 9,8 m/s
- 51.4 * 1000 / 3600 = -14.28 m/s

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.
Nach oben wird meist plus angenommen
Nach unten meist minus

e) Aus welcher Maximalhöhe darf die Kapsel fallen, ohne dass eine Beschädigung auftritt?

k ( t ) = -0,4*t^2 - 5*t + max

k ´( t ) = -0.8 * t - 5 = -14.28
-0.8*t = -9.28
t = 11.6 sec
k ( 11.6 ) = -0,4* (11.6)^2 - 5*(11.6) + max = 0
max = 111.824 m

Comments

Vielen Dank, nur verstehe ich nicht, wozu die letzte Rechnung bei der d) da sein sollte.. Und die e) verstehe ich auch nicht wirklich.

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Umrechnung von km/h in m/sec
- 51.4 * 1000 / 3600 = -14.28 m/s

Die Geschwindigkeit ist die 1.Ableitung
der Höhe
h(t)=-0,4*t^2 - 5*t + 44.4
h ´( t ) = v ( t ) = -0.4 * 2 * 5 - 5
Die Kapsel schlägt nach 6 sec auf
h ´ ( 6 ) = -0.8 * 6 - 5  = - 9,8 m/s

Die Aufprallgeschwindigkeit liegt
unterhalb zulässigen Aufprallge-
schwindigkeit. Die Kapsel wird nicht
beschädigt.

Frag nach falls noch nicht verstanden.
Frag wegen e.) nochmals nach.

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Alle Teilaufgaben bis e) machen Sinn (ich selber habe mit Brüchen gerechnet).

Aber wie kommt man darauf, dass man bei mit -14.28 rechnen muss?

Wenn man bei nicht mit Brüchen rechnet, sondern mit 14.28 bzw. - 14.28 rechnet, kommen doch sehr unterschiedliche Ergebnisse für die Maximalhöhe raus.

LG

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Aber wie kommt man darauf, dass man bei mit -14.28 rechnen muss ?

Die Kapsel darf mit max -14.28 m/s aufschlagen
Die Formel ist
k ´( t ) = v ( t ) =  -0.8 * t - 5 = -14.28
-0.8 * t = -14.28 + 5
t = 11.6 sec ( Fallzeit )

Bei welcher Abwurfhöhe = max
errreicht die Kapsel die Höhe 0 m
k ( 11.6 ) = -0,4* (11.6)^2 - 5*(11.6) + max = 0
max = 111.824 m

111.78 m mit Rechenprogramm