Mehrdimensionale Funktionen

Question

wir besprechen zurzeit die Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen (Analysis 1), wobei die Definition der Differenzierbarkeit von dem Raum f: ℝ → ℝ auf f: ℝ^m → ℝⁿ ausgeweitet wird.

Die partielle Differenzierbarkeit an sich kann ich nachvollziehen; allerdings frage ich mich, wie ich mir diesen Raum vorstellen kann.

Was genau bedeutet es, wenn mein Raum nicht von den Reellen Zahlen auf diese abgebildet wird, sondern z. B. das Quadrat oder das Achtfache der Reellen Zahlen auf die Reellen Zahlen oder das Siebenfache dieser?

Und welcher Unterschied besteht zwischen der Abbildung der Reellen Zahlen auf das Quadrat der Reellen Zahlen und das Quadrat dieser auf die Reellen Zahlen?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

"allerdings frage ich mich, wie ich mir diesen Raum vorstellen kann."

Menschen können sich das nicht vorstellen.

Answer 1

Aloha :)

Funktionen von mehreren Dimensionen zu einer Dimensionen, also vom Typ \(f:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R}\), nennt man Skalarfelder. Durch sie wird jedem Punkt im \(n\)-dimensionalen Raum eine reelle Zahl zugeordnet. Dieser Wert kann z.B. die Höhe \(H(x,y)\) eines Gebirges uber dem Punkt \((x,y)\) des Globus sein. Oder die Temperatur \(T(x,y)\) auf einer Herdplatte am Punkt \((x,y)\). Oder beim Fliegen der Luftdruck \(P(x,y,z)\) an der Position \((x,y,z)\).

Funktionen von mehreren Dimensionen zu mehreren Dimensionen, also vom Typ \(f:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}\), nennt man Vektorfelder. Durch sie wird jedem Punkt im \(n\)-dimensionalen Raum ein \(m\)-dimensionaler Vektor zugeordnet. Das kann z.B. die Geschwindigkeit \(\vec v(x,y,z)\) einer Flüssigkeitströmung am Ort \((x,y,z)\). Hier reicht kein Skalarfeld, weil die Geschwindigkeit eine Stärke und eine Richtung hat. Ein weiters Vektorfeld ist z.B. die Gravitationskraft \(\vec F(x,y,z)\), die ein Objekt am Ort \((x,y,z)\) erfährt.

Comments

Vielen, vielen Dank für Ihre Antwort! Das hat mir unheimlich weitergeholfen!

---

Eine Frage hätte ich noch: Wie ist es möglich, Formeln im Text zu nennen? (Bzw. auch Variablen oder Funktionen nicht nur als Text anzuzeigen?) Ich habe bisher immer das LaTeX dafür verwendet, aber dabei musste ich entweder den Text zusätzlich eingeben, oder die Formeln wurden immer mit einem zusätzlichen Absatz dargestellt.

---

Du kannst eine Formel einleiten mit "Backslash(", also \ ( ohne Leerzeichen dazwischen. Eine Formel endet mit "Backslash)", also \ ) ohne Leerzeichen dazwischen.

Wenn du eine Formel in eine eigene Zeile haben möchtest, wird sie mit 2 Dollarzeichen eingeleitet, also $ $ ohne Leerzeichen, und endet auch mit 2 Dollarzeichen.

PS: Wenn dir meine Antwort geholfen hat, freue ich mich über eine positive Bewertung ;)

---

Vielen Dank!

Ich gebe gerne eine positive Bewertung ab.

Answer 2

Hallo

 einen Anfang schon, der R^2 ist dir bekannt, es ist nicht der Raum der reellen Quadratzahlen, sondern einfach die reelle ebene, so wie der R^3 der euklidische dreidimensionale Raum ist.

Funktionen im R^2 kann man sich grade noch vorstellen, wenn man etwa jedem Punkt x,y einen Luftdruckwert p(x,y) zu ordnet, oder einen Temperatur T(x,y) dasselbe im R^3, T(x,y,z) nur die Graphen dazu sind nicht so einfach wie bei R->R f(x)

 f(x,y) hat noch einen Graphen , wenn du h=f(x,y) als Höhe über den Punkten x,y denkst. Außerdem wird f(x,y) oft durch Niveaulinien in der x-y Ebene veranschaulicht, vielleicht kennst du die als Höhenlinien auf einer Landkarte, die Punkte f(x,y)=h werden verbunden.

sich höherdimensionale Räume "vorzustellen" wird dann schwierig,

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort! :)