Prozent der Fläche - normalverteilung

Question

Aufgabe:

Gegen ist eine Normalverteilung mit Mittelwert 40 und Varianz 32.

Frage: bitte berechne, wie viel Prozent der Fläche in das Intervall zwischen x=30 und x=33 fällt?

Wer kann mir helfen ?

Answer 1

Für das Formel- und Merkheft:

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = Φ((b - μ)/σ) - Φ((a - μ)/σ)

P(30 < X < 33) = Φ((33 - 40)/√32) - Φ((30 - 40)/√32) = 0.0694

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die Fragestellung mittels der \(z\)-Transformation \(z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\) auf die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) zurückführen, man nennt das auch "standardisieren". Die Werte für \(\Phi(z)\) kannst du mit einem Rechner berechnen oder in Tabellen zur Standard-Normalverteilung nachschlagen. Wichtig zu merken ist, dass \(\Phi(z)\) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine standardisierte Zufallsvariable Werte \(\le z\) annimmt.

Wir gehen damit die Aufgabe mal an. Zunächst zerlegen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:$$P(30\le x\le33)=P(x\le33)-P(x\le30)$$Jetzt führen wir die \(z\)-Transformation mit \(\mu=40\) und \(\sigma=\sqrt{32}\) durch:$$P(30\le x\le33)=\Phi\left(\frac{33-40}{\sqrt{32}}\right)-\Phi\left(\frac{30-40}{\sqrt{32}}\right)=\Phi(-1,2374)-\Phi(-1,7678)$$Die Werte für die \(\Phi\)-Funktion liefert der Taschenrechner:$$P(30\le x\le33)=0,107962-0,038550=0,069413=6,94\%$$