Wie berechne ich die Größen der Zahnräder in einem High Ratio Planeten Getriebe?

Question

Wie berechne ich die Größen der Zahnräder in einem High Ratio Planeten Getriebe?

Aufgabe:

Das Planetengetriebe ist so aufgebaut: Es gibt einen Starren Ring und einen Drehbaren. Die Planeten vom Starren und drehbaren ring teilen sich einen träger, sind also miteinander verbunden. Es gibt nur eine sonne im starren Ring. Die planeten auf der starren seite haben einen größeren durchmesser als die auf der drehbaren seite.

Parameter die Vorhanden sind:

-Drehzahl der Sonne: 60 pro Stunde

-Zahnzahl des starren Rings: 80

-Zahnzahl der Sonne: 8 (ist eigentlich unwichtig)

-Zahnzahl der Planeten (am Starren Ring) : 36

Gesucht: Wie viel Zähne müssen die Planeten beim beweglichen Ring und der bewegliche Ring selbst haben, damit sich der bewegliche Ring einmal pro Stunde dreht?

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht eine Gleichung aufzustellen, aber ich komme an meine Grenzen. Ich verstehe es einfach nicht, wie ich das rechnen soll. Meinen gescheiterten Lösungsvorschlag vorzustellen wird hier niemandem Weiterhelfen. Info: Ich brauche die Rechnung für ein Privates Projekt und nicht für die Schule. Man muss es mir nicht vorrechnen. Mir würde nur der Lösungsweg mit den Formeln reichen.

Gefragt 13 Apr 2020 von Bestfragen

📘 Siehe "Rechenweg" im Wiki

2 Antworten

Beste Antwort

Hallo,

also ich meine das Problem vollständig verstanden zu haben. Ich kommen auf bei der geforderten Übersetzung von $60:1$ auf eine nicht ganzzahlige Zahnanzahl von $25 + 13/23$ Zähnen für die Planetenräder und auf $69 + 13/23$ Zähnen für das bewegliche Umlaufrad. Natürlich vorausgesetzt, dass die Zähne im beweglichen Umlaufrad nebst Planetenrädern die gleichen Größe haben wie die Räder im feststehenden Umlaufrad.

Daher noch mal nachgefragt: kannst Du die Zahngröße oder die Zahnanzahl ändern? Stellst Du die Zahnräder selber her? Ist die Übersetzung $1:60$ fest oder reicht auch ungefähr?

Zur Herleitung (siehe auch hier): für ein Planetengetriebe mit den Größen

$n_S$ Drehzahl des Sonnenrades

$n_H$ Drehzahl Hohlrad (Umlaufrad)

$n_T$ Drehzahl des Trägers

$z_S, \space z_H$ Anzahl der Zähne von Sonnenrad und Hohlrad (Umlaufrad)

gilt immer:$$n_H \cdot z_h = n_T(z_H + z_S) - z_S \cdot n_S$$Weiter gilt, dass die Anzahl der Zähne der Planetenräder von $z_S$ und $z_H$ abhängt $$z_P = \frac 12 (z_H-z_S)$$Für den Teil mit fest stehenden Hohlrad ist $n_H=0$ - daraus und aus den Anzahl der Zähnen folgt$$\begin{aligned} n_H \cdot z_h &= n_T(z_H + z_S) - z_S \cdot n_S \\ 0 \cdot 80 &= n_T (80 + 8) - 8 \cdot n_S \\ \implies n_T &= \frac 1{11} n_S \end{aligned}$$Für die Drehzahl des beweglichen Hohlrads $H_2$ betrachtet man die Geschwindigkeiten am Berührpunkt des zweiten Satz der Planetenräders $P_2$ und mit $H_2$. Da gilt$$\begin{aligned} v_{H2} &= v_T + v_{P2} \\ \frac{d_{H2}}2 \omega_{H2}&= \frac{d_S + d_P}2 \omega_T + \frac{d_{P2}}2 \omega_{P}\\ \frac{d_{H2}}2 n_{H2}&= \frac{d_S + d_P}2 n_T + \frac{d_{P2}}2 n_{P}\end{aligned}$$Laut Anforderung soll $n_{H2} = n_S /60$ sein. Und da die Planetenräder gemeinsame Achsen haben, gilt für die Durchmesser auch $$d_{H2} - d_{P2} = d_S + d_P$$Setzt man $d_{H2}$ oben ein und löst nach $d_{P2}$ auf$$\begin{aligned} (d_S + d_P +d_{P2} )n_{H2} &= (d_S + d_P) n_T + d_{P2} n_P\\ d_{P2} (n_{H2} - n_{P})&= (d_S + d_P) (n_T -n_{H2}) \\ d_{P2} &= \frac{ (d_S + d_P) (n_T -n_{H2}) }{n_{H2} - n_{P}}\end{aligned}$$Bevor ich jetzt zur Anzahl der Zähne komme, muss noch $n_p = f(n_S, z_S, z_H)$ berechnet werden.

Ich habe jetzt verstanden, wie es funktioniert.

dann fasse ich mich kurz, um das noch zu Ende zu bringen. Ich komme am Ende auf folgenden Zusammenhang für die Anzahl $z_{P2}$ der Planetenräder im beweglichen Hohlrad mit der Zahnzahl $z_{H2}$$$z_{P2} = \frac{\left( z_S - \frac{z_H + z_S}{60}\right) (z_H - z_S)}{2 \left( \frac{z_H - z_S}{60} + z_S\right)} \\ z_{H2} = \frac 12 (z_H + z_S) + z_{P2}$$Das stimmt leider nicht mit meiner ersten Lösung überein. Also keine Gewähr für die Richtigkeit!

Ansonsten besteht hier die Kunst darin, ganzzahlige Lösungen zu finden. Zwei kann ich bieten$$z_H = 80, \quad z_S = 16, \implies z_{P2} = 28, \space z_{H2} = 76 \\ z_H = 92, \quad z_S = 12 \implies z_{P2} = 32, \space z_{H2} = 84$$Bitte nachrechnen ;-)

Gruß Werner

Beantwortet 13 Apr 2020 von Werner-Salomon

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Tschakabumba · Answer 1 · 2020-04-13T17:15:00+0000

Aloha :)

Aus deiner Beschreibung bin ich nicht schlau geworden, was den beschriebenen Aufbau angeht. Ich meine aber verstanden zu haben, dass du einen Algorithmus brauchst, um eine Dezimalzahl möglichst gut durch einen Bruch anzunähern. Zähler und Nenner geben dann die Anzahl der Zacken der Zahnräder an, die du brauchst, um das "Drehverhältnis" möglichst gut an die Dezimalzahl anzupassen.

Der Uhrmacher Jost Bürgi hat dafür ein Verfahren entwickelt. Ich zeige das hier am Beispiel $\pi$.

1) Wähle zwei Brüche, die die Dezimalzahl "einsperren":$$\frac{3}{1}<\pi<\frac{4}{1}$$2) Addiere die Zähler und die Nenner der beiden Brüche: $$\frac{3+4}{1+1}=\frac{7}{2}$$3) Setze den so erhaltenen Bruch als neue untere / obere Grenze: $$\frac{3}{1}<\pi<\frac{7}{2}$$Wiederhole dies solange, bis die benötigte Genauigkeit erreicht ist.

$$\frac{3+7}{1+2}=\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{1}<\pi<\frac{10}{3}$$$$\frac{3+10}{1+3}=\frac{13}{4}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{1}<\pi<\frac{13}{4}$$$$\frac{3+13}{1+4}=\frac{16}{5}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{1}<\pi<\frac{16}{5}$$$$\frac{3+16}{1+5}=\frac{19}{6}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{1}<\pi<\frac{19}{6}$$$$\frac{3+19}{1+6}=\frac{22}{7}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{1}<\pi<\frac{22}{7}$$Jetzt ist die obere Grenze $\frac{22}{7}$ erstmal recht lange stabil (weil sie sehr gut passt). Die nächste Verbesserung gegenüber $\frac{22}{7}$ als Näherung für $\pi$ liefert der Algorithmus erst wieder bei $\frac{355}{113}$. Diese ist aber richtig gut ;)

Wie berechne ich die Größen der Zahnräder in einem High Ratio Planeten Getriebe?

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