Ungleichung lösen verschiedene Fälle

Question

Aufgabe:

\( \left| \frac{x+3}{2x-5} \right| >= 3 \)

Problem/Ansatz:

In der Lösung dieser Aufgabe sind vier verschiedene Fälle angegeben. Ich komme jedoch lediglich auf einen: \(\mathbb L=\{ 5/2\le x \le 18/5\}\)

Wie löse ich eine solche Ungleichung, sodass ich 4 Fälle erhalte?

Lg,

Tobi :)

Comments

Multipliziere mit dem Nenner, quadriere, wende die dritte binomische Formel an und erhalte (7x-12)·(5x-18)≤0 für x≠5/2.
Beachte, dass 5/2 nicht in der Lösungsmenge enthalten sein kann.

Answer 1

$$ \mathbb L=[1.\overline{714285}; 3.6]\setminus\{2.5\} $$

https://www.desmos.com/calculator/nxm93tcm6s

Comments

\(1,\overline{714285} = \frac {12}7\) wäre hübscher gewesen - oder ?

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@Werner

Prinzipiell stimme ich dir zu. Im Koordinatensystem finde ich Dezimalzahlen aber sinnvoller.

Answer 2

Oh, ich sehe gerade, dass ich genau das Gegenteil betrachtet habe,

also ist die richtigen Lösungsmenge das fehlende Stück, ohne die 2,5.

Wenn du mit dem Nenner multiplizierst bekommst du

| x+3 | ≤ 3*|2x-5|

Für x<-3 sind die Terme in beiden Beträgen negativ , also hast du dann

-x-3  ≤ 3*(-2x+5)

<=>  -x-3  ≤ -6x+15

<=>  5x   ≤ 18

<=>  x  ≤ 3,6  zusammen mit der Bedingung  x<-3

ergibt sich für diesen Fall: Lösungen sind alle x mit  x<-3 .

Nächster Fall:  -3 ≤ x < 2,5   (gleich 2,5 geht ja nicht wegen Nenner 0)

Da hast du dann

x+3  ≤ 3*(-2x+5)

<=>  x+3  ≤ -6x+15

<=>  7x   ≤ 12<=>  x  ≤ 12/7   zusammen mit der Bedingung   -3 ≤ x < 2,5

gibt das   für diesen Fall: Lösungen sind alle x mit   -3 ≤ x ≤ 12/7 .

letzter Fall :   x > 2,5 . Dann hast du

x+3  ≤ 3*(2x-5) 
<=>  x+3  ≤ 6x-15

<=>  -5x   ≤ -18<=>  x  ≥ 3,6  zusammen mit der Bedingung x > 2,5

 ergibt sich für diesen Fall: Lösungen sind alle x mit  x≥3,6  .

Also L = [ -3 ; 12/7 ] ∪ [ 3,6 ; ∞ [

s. auch: (Alles unter der roten Geraden)

~plot~ abs( (x+3)/(2x-5)); 3 ~plot~