Stochastik/Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Eine Firma verschickt Kaffee in Holzkisten mit jeweils 100 Kaffeepackungen. Das Bruttogewicht der einzelnen Kaffeepackungen sei normalverteilt mit Erwartungswert μ=1 kg und der Varianz σ²=0.003 kg² Das Gewicht der leeren Holzkiste sei normalverteilt mit Erwartungswert μ = 10 kg und Varianz  σ2 = 0.06 Kg².

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass das Gesamtgewicht der Kiste größer ist als 111,2 Kg?

Answer 1

Aloha :)

Die Normalverteilungen unabhängiger Zufallsvariablen "addieren" sich. Genauer addieren sich ihre Erwartungswerte \(\mu\) und ihre Varianzen \(\sigma^2\). Daher ist hier:$$\mu=100\cdot1\,kg+10\,kg=110\,kg$$$$\sigma^2=100\cdot0,003\,kg^2+0,06\,kg^2=0,36\,kg^2$$Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtgewicht \(>111,2\,kg\) ist:$$P(G>111,2)=1-P(G\le111,2)=1-\Phi\left(\frac{111,2-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(2)$$$$\phantom{P(G>111,2)}=1-0,977250=0,022750=2,28\%$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

μ = 100·1 + 1·10 = 110
σ² = 100·0.003 + 1·0.06 = 0.36
P = 1 - NORMAL((111.2 - 110)/√0.36) = 0.0228 = 2.28%