Ziffern-Tripel Äquivalenzklassen

Question

Hallo mathelounge community!

Aufgabe:

Betrachten Sie die Menge der geordneten Ziffern-Tripel
{(z 1 , z 2 , z 3 )|z 1 , z 2 , z 3 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}
Wir führen eine Relation auf dieser Menge ein und nennen zwei Tripel äquivalent, wenn sie die
gleichen Ziffern — möglicherweise in unterschiedlicher Reihenfolge — enthalten.
a) Überlegen Sie sich zunächst, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
b) Wieviele Äquivalenzklassen gibt es?
c) Wieviele Elemente enthalten die verschiedenen Äquivalenzklassen jeweils?

Problem/Ansatz:

Ich weiß so wenig, dass ich nicht mal weiß was ich wirklich fragen soll.

Mein Ansatz wäre jetzt die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachzuweisen für a) um zu beweisen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Wobei ich mir fast sicher bin ist, dass es reflexiv sein muss, da jedes z aus ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} reflexiv zu sich selbst ist. Wie man die Symmetrie und Transitivität nachweisen soll, verstehe ich nicht.

Zu b würde ich sagen, dass es die Äquivalenzklassen (gleiche Ziffer) und (unterschiedliche Ziffer) gibt. Doch auch hier kenne ich die Schreibweise nicht. Wir haben es graphisch dargestellt, doch hier wird schätze ich eine schriftliche Definition verlangt.

Zu c müsste ich dann wahrscheinlich später alle möglichen Kombinationen durchgehen die es für gleiche Ziffern gibt. Aber muss ich diese dann alle aufschreiben? Das wäre glaube ich nicht so gedacht, da uns gesagt wurde "wenn man zu viel schreibt, macht man es sich unnötig schwer".

Könnte mir bitte jemand erklären Schritt für Schritt wie das geht? :) Vielen dank im voraus!

PS: Bitte nicht nur die Lösung schreiben, ich poste hier zum ersten Mal, deshalb weiß ich nicht wie es hier gehandhabt wird. In einem anderen Forum habe ich schon einmal gefragt wegen einer anderen Aufgabe und nur die Lösung bekommen oder das Ergebnis wurde mit einem Online Rechner ausgerechnet und eingeschickt ohne Erkärung. Letztendlich brachte es mir nichts, auch wenn ich die Lösung habe, da ich nichts gelernt habe.

Answer 1

a) reflexiv heißt doch:  Jedes Zifferntripel ist zu sich selbst äquivalent.

Dem ist so, weil jedes Tripel natürlich genau die gleichen Ziffern (sogar in der gleichen Reihenfolge)

enthält, wie es selbst.

symmetrisch: Wenn man zwei Tripel hat

x =  (a,b,c) und  y = (d,e,f) und es ist     x äquivalent zu y, dann heißt das nach Def:

x enthält die gleichen Ziffern wie y , aber dann enthält y auch die gleichen Zifgfern wie x.

Also ist die Relation symmetrisch.

So ähnlich begründest du auch die Transitivität: Kurz so:

Du hat x =  (a,b,c) und  y = (d,e,f)  und z=(g,h,i).

x äquivalent zu y und y äquivalent zu z heißt:

x enthält die gleichen Ziffern wie y und y enthält die gleichen Ziffern wie z.

Dann enthält x nat. auch die gleichen Ziffern wie z, also transitiv.

b)c)  Es gibt einelementige Klassen, etwa diejenige, die (1,1,1) enthält.

Zu diesem Element äquivalent ist nur es selbst, denn es muss ja die gleichen Ziffern (also nur

Einsen enthalten.  Entsprechend für die anderen Ziffern.

Anders ist es schon bei etwa (1,1,2). Das ist äquivalent zu  (1,2,1) und zu (2,1,1)

aber auch zu (2,2,1) und (2,1,2) und (1,2,2) .

So gibt es zu jedem Paar zweier verschiedener Ziffern solche 6-er Klassen.

Und dann gibt es noch die mit drei verschiedenen Ziffern. Wenn zwei davon äquivalent sind, dann

sind sie gleich oder haben die drei Ziffern in einer anderen Reihenfolge. Das sind also auch

6-elementige Klassen.

Es gibt also 10 Klassen der ersten Art und 45 der zweiten und 120 der dritten Art.

Passt: 10 + 6*45 + 6*120 = 1000 Das ist die Anzahl aller Tripel.

Comments

Okay. Ich glaube ich habs verstanden.

Das heißt man muss bei a) keine expliziten Zahlenbeispielen zum Beweis bringen? Bei anderen Aufgaben zum Beispiel war es immer so, dass wir Gegenbeispiele bringen mussten um zu beweisen, dass zum Beispiel die Transitivität nicht gilt. Aber wenn sie gilt, dann darf man es so wie du erklärt hast als allgemeine Formel schreiben. Habe ich das richtig verstanden? Also ohne Zahlen nur mit variabeln (weil es ja für alle gilt).

Zu b) mit einelementigen Klassen meinst du, dass es 10 Möglichkeiten gibt das alle Zahlen des Tripel gleich sind, denke ich. Also (0,0,0) (1,1,1) (2,2,2) (3,3,3,) ...(9,9,9).

Bei zweielementigen Klassen verstehe ich aber nicht ganz warum das 45 ist. Es sind doch schon allein um alle Möglichkeiten von 0 an erster Stelle darzustellen 27 Möglichkeiten.

001, 010, 011
002, 020, 022
003, 030, 033
004, 040, 044
005, 050, 055
006, 060, 066
007, 070, 077
008, 080, 088
009, 090, 099

Muss man dann nicht diese 27 mit 10 multiplizieren? ( Also für jede Zahl vor von 0-9 )

Wie bist du auf die 120 der dritten Klasse gekommen?

Aber vielen dank schonmal für die schnelle und ausführliche Antwort! Ich hab als erstes gedacht mit Äquivalenzklassen sind nur zwei mögliche gemeint, die die eben äquivalent sind und der Rest. Aber es ist logisch, dass es 3 Äquivalenzklassen gibt (oder eben 4 mit der Restklasse die man auch deklarieren muss).

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Die Klassen, bei denen zwei verschiedene Ziffern vorkommen, musst du noch was ergänzen:


001, 010, 011, 100, 110, 101
002, 020, 022  etc.
003, 030, 033
004, 040, 044
005, 050, 055
006, 060, 066
007, 070, 077
008, 080, 088
009, 090, 099.

Jede klasse kannst du also durch Angabe eines Paares (a,b) mit zwei
Ziffern beschreiben, Paare mit zwei Ziffern gibt es insgesamt 100.

Davon sind bei 10en allerdings die Ziffern beide gleich, bleiben 90.

Da aber (a,b) und (b,a) die gleiche Klasse beschreiben, bleiben 45.

Du kannst das auch mit deiner systematischen Auflistung bestimmen.

Mit der 0 drin hast du 9 Klassen.

Dann würde es ja weiter gehen mit

112, 121,211,  212, 221,122  bestimmt durch (1,2)

113,131, 311, 313 , 331, 133 bestimmt durch (1,3)

etc bis ... bestimmt durch (1,9)

Das gibt dann 8

Wenn es durch (2,3) (2,4) , (2,5) …. (2,9) bestimmt wird, sind

es noch 7 etc.

Also hast du insgesamt von dieser Sorte

9+8+7+...+2+1 = 45

Die 120 Klassen der 3. Sorte werden ja durch die Angabe von 3 verschiedenen

Ziffern bestimmt. Da es auf die Reihenfolge innerhalb der Klassen nicht ankommt,

kannst du die drei Ziffern ,welche die Klasse beschreiben, der Größe nach geordnet angeben. Das würde

etwa so aussehen

012
013
014
….
019

Das wären 8
023
024
025 … 029 Das wären 7

bis zu

078
079    also 2   und noch

089  .

Das sind schon mal 8+7+6+5+4+3+2+1=36

Jetzt ohne die 0, also mit

123 beginnen bis 129 . Das sind 7

134 bis    139 Das sind 6 , also von

denen, die eine 1 enthalten aber keine 0 gibt  es

7+6+5+4+3+2+1 =28

Dann alle ohne 0 und 1, also sowas

234 bis 239  ( 6 Stück)

245 bis 249  (5 Stück ) … also

6+5+4+3+2+1 = 21

nächste Sorte

5+4+3+2+1 = 15

etc. Also insgesamt

36+28+21+15+10+6+3+1=120

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Achso okay! Vielen dank für die Erklärung!
Ich hab als erstes gedacht, dass

z.B schon diese Reihe...

001, 010, 011, 100, 110, 101

...nicht ein einziges Paar darstellt sondern 6 Paare.

Aber das ergibt natürlich Sinn. Sonst wäre das ja eine massive Hochrechnung.

Nochmals vielen dank. Die Erklärung hat wirklich geholfen!!!