Bitte um Korrektur meiner Hausübung

Question

9. Gib eine Stammfunktion von f an.

a) \( f(x)=-3 \)  \( \int-3 d x=-3 x+C \)
c. \( f(x)=x^4 \) int x^4 dx=x^5+C
e) f(x)=x^-133  int x^-133 dx= x^-134 +C

g) f(x)=x^25  int x^25 dx= x^26+C

10. Berechne und kontrolliere durch Differenzieren
a) int x^2/5 dx= x^3/5durch3/5+C=5/3 x^3/5+C

b) int x^-2/3 dx= x^-3/3 durch 3/3+C=3/3 x^3/3+C

c) int x^1/6 dx= x^2/6 durch 2/6+C= 6/2 x^2/6+C

d) int x^-1 dx= x^-2 durch -2

Answer 1

Aloha :)

Du hast das Integral nur "halb" gebildet. Du musst den Exponenten um 1 erhöhen und anschließend durch den neuen Exponenten dividieren.$$\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+\text{const.}$$$$\int x^{-133}\,dx=\frac{x^{-132}}{132}+\text{const.}$$Du hast bei einigen Aufgaben falsch erhöht, etwa bei der (b) ist \(-133+1=-132\), nicht \(-134\). Und du hast bei allen Aufgaben vergessen, durch den neuen Exponenten zu divideren. Die einzig richtige Aufgabe ist die (a). Da müsste man durch \(1\) dividieren, sodass es nicht auffällt, wenn man das vergisst.

Comments

ah ok vielen dank:) und wie funktioniert bei a und b differenzieren, damit ich mein Ergebnis überprüfen kann?

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Beim Differenzieren machst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge. Der aktuelle Exponent kommt als Faktor vor die Potenz und anschließend wird der Exponent um 1 vermindert.$$\text{Integrieren:}\quad\;\quad x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$$$$\text{Differenzieren:}\quad x^n\to n\cdot x^{n-1}$$Wir machen das mal gemeinsam an der (10b):$$\int x^{-2/3}dx=?$$Schritt 1: Erhöhen des Exponenten um \(1\):$$-\frac{2}{3}+1=-\frac{2}{3}+\frac{3}{3}=\frac{1}{3}$$Das liefert uns das Teilergebnis: \(x^{1/3}\).

Schritt 2: Das Teilergebnis durch den neuen Exponenten dividieren:$$\frac{x^{1/3}}{\frac{1}{3}}=x^{1/3}:\frac{1}{3}=x^{1/3}\cdot\frac{3}{1}=3x^{1/3}$$Damit haben wir das Integral fertig:$$\int x^{-2/3}dx=3x^{1/3}+\text{const.}$$Jetzt machen wir die Probe, indem wir \(3x^{1/3}\) differenzieren:

1. Schritt: Der alte Exponent kommt als Faktor vor die Potenz:$$3x^{1/3}\stackrel{(1)}{\to}\frac{1}{3}\cdot3x^{1/3}=x^{1/3}$$2. Schritt: Der Exponent wird um 1 vermindert:$$\frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}$$Damit lautet die Ableitung: \(x^{-2/3}\)

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könntest du das vielleicht mit einem beispiel von 10 machen und was bekomme ich dann bei der 10 g) heraus?

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ich weiß nicht wie man auf das Ergebnis von a-d beispiel 10 komme

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Die 10d) ist ein Sonderfall. Wenn wir unsere Integrationsregel darauf anweden wollen kriegen wir Probleme, denn:$$\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}\quad???$$Wenn wir \(-1\) um \(1\) erhöhen kommt als neuer Exponent \(0\) heraus, durch die \(0\) können wir aber nicht dividieren. Daher merkt man sich:$$\int x^{-1}dx=\ln|x|+\text{const}$$Ansonsten greift die einfach Integrationsregel immer, nur eben nicht, wenn der Exponent \(-1\) ist.

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vielen vielen Dank!!

und noch eine Frage, was funktioniert die 10g? ist x^-1 nicht der logarithmus?

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\(x^{-1}\) ist dasselbe wie \(\frac{1}{x}\), denn negative Exponenten bedeuten, dass der Kehrwert zu nehmen ist. Richtig ist, dass das Integral von \(x^{-1}\) der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\) ist.

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und wie lautet das ergebnis? mit differenzieren

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Du kannst ruhig benutzen, dass die Ableitung von \(\ln(x)\) gleich \(\frac{1}{x}\) ist. Das wird im Unterricht ein Mal gezeigt und kann dann als bekannt voraussetzt werden. Das brauchst du also nicht weiter zu begründen. Daher schreibe einfach:$$\int x^{-1}\,dx=\ln x+\text{const.}$$$$\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

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Dankeschön, du hast mir sehr weiter geholfen.!!

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wie komme ich auf die -4/3 bei Aufgabe 13b)?

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Ist dieses Ergebnis richtig mit -4/3 bei 13b und wenn wie kommt man auf dieses Ergebnis beim integrieren

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Vielleicht kannst  du dir die Frage selbst beantworten, wenn du die Stammfunktion ableitest...

Dann siehst du zumindest, warum da der Faktor -4/3 und kein anderer Faktor stehen muss.

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Hab ich versucht, aber bekomme immer einen anderen Wert heraus, wenn ich ableite

Answer 2

9.

a) Das "+C" brauchst du nicht hinzufügen.

c) Deine Stammfunktino ist falsch, wie du durch Ableiten überprüfen kannst. Eine Stammfunktion von f(x) = x⁴ ist F(x) = 1/5·x⁵.

e) siehe c)

g) siehe c)

10.

d) int x^-1 dx= x^-2 durch -2

Stammfunktion von f(x) = xⁿ ist 1/(n+1) · xⁿ⁺¹

Du hast dagegen f(x) = x^-1 aufgeleitet zu 1/(-1-1) · x^-1-1.

Obige Regel zur Bilndung der Stammfunktion gilt natürlich auch nur dann, wenn n+1 ≠ 0 ist (durch 0 kann man nicht teilen), wenn also n ≠ -1 ist.

Eine Stammfunktion von f(x) = x^-1  ist F(x) = ln(|x|).

a) int x²/5 dx= x³/5durch3/5+C=5/3 x³/5+C

Bist du sicher, dass im Exponenten des Integranden nicht eigentlich 2/5 steht?

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale

Grundintegral Integral(x^(k)*dx=x^(k+1)*1/(k+1) mit k ungleich -1  für x<0 gilt x ungleich NULL

f(x)=-3  F(x)=Integral(-3*x⁰dx)=-3*Integral(x⁰*(dx)=-3*x^(0+1)*1/(0+1)=-3*x+C

f(x)=x^4  F(x)=∫(x^4*dx)  F(x)=x^(4+1)*1/(4+1)=1/5*x^5+C

e) f(x)=x^(-133) F(x)=⌈(x^(-133)*dx) F(x)=x^(-133+1)*1/(-133+1)=-1/132*x^(-132)+C

g) f(x)=x²^5 F(X)=∫x²^5*dx=x^(25+1)*1/(25+1)=1/26*x²⁶+C

10 a)

F(x)=∫(1/5*x²*dx) F(x)=1/5*x^(2+1)*1/(2+1)+C=1/(5*3)*x³+C=1/15*x³+C

abgeleitet f(x)=1/15*x³+C*x⁰=1/15*3*x^(3-1)+C*0*x^(0-1)=3/15*x²+0=1/5*x²

Der Rest geht genau so.

c)f(x)=1/6*x^1  F(x)=∫1/6*x^1*dx)  F(x)=1/6*∫x^1*dx=1/6*x^(1+1)*1/(1+1)+C=1/(6*2)*x²+C=1/12*x²+C

Answer 4

Wenn der Auftrag ist: "Gib eine Stammfunktion von f an.", dann langt es aus wirklich nur eine anzugeben. Du brauchst dann nicht mit dem Unbestimmten Integral die Menge aller Stammfunktionen angeben.

a) f(x) = -3

F(x) = -3x

c) f(x) = x^4

F(x) = 1/5·x^5

Du brauchst hier also kein "+ C" anfügen.