Funktionsgleichung ermitteln Funktion 3. Grades

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt (0| 5/3) die Steigung k = 3 und im Punkt(-1/0)
einen Extremwert.

Problem/Ansatz:

Ich kenn mich da leider gar nicht aus, also das mit c*x+d ist mir klar aber wie ich a und b ermittle weiß ich leider nicht. (Was ich bis jetzt habe ist f(x)= Lösung: f(x) = ax³+bx²+ 3x + 5/3)

Answer 1

Aloha :)

Lass uns mal einsammeln, was wir haben:

\(f(0)=\frac{5}{3}\quad\)folgt aus den Koordinaten \((0|5/3)\)

\(f'(0)=3\quad\)folgt aus der angegebenen Steigung \(k=3\) im Punkt \((0|5/3)\)

\(f(-1)=0\quad\)folgt aus den Koordinaten \((-1|0)\)

\(f'(-1)=0\quad\)folgt aus der Kenntnis, dass im Punkt \((-1|0)\) ein Extremum vorliegt

Um alle diese Infos verarbeiten zu können, brauchen wir einen Ansatz für \(f(x)\) und die erste Ableitung \(f'(x)\) davon. Da wir eine Parabel 3-ten Grades suchen, wählen wir:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$Den Wert für \(d\) erhalten wir sofort aus der ersten Info:$$\frac{5}{3}=f(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d\quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{3}$$Aus der zweiten Info erhalten wir sofort \(c\), denn:$$3=f'(0)=3a\cdot0^2+2b\cdot0+c=c\quad\Rightarrow\quad c=3$$Bleiben noch die beiden letzten Infos, die uns 2 Gleichungen für \(a\) und \(b\) liefern:$$0=f(-1)=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d=-a+b-3+\frac{5}{3}=-a+b-\frac{4}{3}$$$$0=f'(-1)=3a(-1)^2+2b(-1)+c=3a-2b+3$$Wir sammeln das ein:$$\begin{array}{r}-a&+b&=&\frac{4}{3}\\3a &-2b&=&-3\end{array}$$Wir multiplizieren die erste Gleichung mit \(3\)$$\begin{array}{r}-3a&+3b&=&4\\3a &-2b&=&-3\end{array}$$und addieren nun beide Gleichungen:$$\begin{array}{r}-3a&+3b&=&4\\3a &-2b&=&-3\\\hline0&+b&=&1\end{array}$$Damit wissen wir, dass \(b=1\) ist. Wegen \(-a+b=\frac{4}{3}\) muss dann \(a=-\frac{1}{3}\) sein. Die gesuchte Funktion lautet also:$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x+\frac{5}{3}$$

~plot~ -x^3/3+x^2+3x+5/3 ; [[-3|8|-5|12]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die Erklärung! :DD Ich hab dieses Jahr meine Abitur (hoffentlich haha) und das hat mir gerade echt geholfen, nochmals dankeee!

Answer 2

1) f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao   P1(0/5/3) → f(0)=5/3  → ao=5/3

2) f´(x)=m=3*a3*x²+2*a2*x+a1*x  P1(0/5/3) Extremwert f´(0)=...+a1 → a1=3

1) f(-1)=0=a3*(-1)³+a2*(-1)²+3*(-1)+5/3  aus P2(-1/0)

2) f´(-1)=0=*a3*(-1)²+2*a2*(-1)+3

wir haben hier eine lineares Gleichungssytem (LGS) mit den 2 Unbekannten,a3 und a2 und 2 Gleichungen,also lösbar.

Das LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) -1*a3+1*a2=3-5/3=4/3

2) 3*a3-2*a2=-3

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=-1/3 und a2=1

gesuchte Funktion y=f(x)=-1/3*x³+1*x²+3*x+5/3

~plot~-1/3*x^3+x^2+3*x+5/3;[[-4|7|-5|10]]~plot~

Comments

Dankeschööön! :DD

Answer 3

Die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm kannst du gut zur Kontrolle eigener Rechnungen verwenden.

Answer 4

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt Y\((0| \frac{5}{3})\) die Steigung \(k = 3\) und im Punkt N\((-1|0)\) einen Extremwert.

im Punkt N\((-\red{1}|0)\) einen Extremwert  → doppelte Nullstelle

\(f(x)=a(x+\red{1})^2(x-N)\)

Y\((0| \blue{\frac{5}{3}})\):

\(f(0)=a(0+\red{1})^2(0-N)=-a \cdot N=\blue{\frac{5}{3}}\)

\(a=-\frac{5}{3N}\):

\(f(x)=-\frac{5}{3N}(x+\red{1})^2(x-N)\)

im Punkt Y\((0| \frac{5}{3})\) die Steigung \(k = 3\):

\(f'(x)=-\frac{5}{3N}[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f'(0)=-\frac{5}{3N}[-2N+1]=3\)

\(N=5\):

\(a=-\frac{5}{3 \cdot 5}=-\frac{1}{3}\)

\(f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)^2(x-5)\)