Injektive und surjektive Abbildungen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Abbildungen f_k : c → c, k=1,2,3. Für x = (x_i) _i∈ℕ  ∈ c sei

(i) f₁ (x) = (0, x₀ , x₁ ,...)

(ii) f₂ (x) = (x₁ ,x₂ , x₃ ,...)

(iii) f₃ (x) = (x₀, 1/2 x₁ , 1/3 x₂ ,...., 1/(i+1) x_i ,...)

Wie kann man nun begründen, ob diese Abbildungen jeweils injektiv oder nicht injektiv und surjektiv oder nicht surjektiv sind?Ich habe leider gar keine Ahnung.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

f_k : c → c

Was ist c?

Wenn c = {0}^ℕ ist, dann sind alle Abbildungen injektiv und surjektiv.

---

Warum sollte f₂ injektiv sein?

---

c ist der Raum der Konvergenten Folgen

---

c ist der Raum der Konvergenten Folgen

Aus welcher Menge kommen die Folgenglieder?

Wenn sie aus der Menge {0} kommen, dann dann sind alle Abbildungen injektiv und surjektiv.

Answer 1

c ist der Raum der Konvergenten Folgen

Ich gehe mal davon aus, dass damit konvergente Folgen über ℚ oder ℝ oder ℂ gemeint sind.

f₁ ist injektiv aber nicht surkjektiv.

Sei x ∈ c mit x_n = 1/(n+1) für alle n. Dann gibt es kein z ∈ c mit f₁(z) = x.

f₂ ist nicht injektiv, aber surjektiv.

Sei y ∈ c mit y_n = 0 für n = 0 und y_n = 1/(n+1) für alle n≠0. Dann ist f₂(x) = f₂(y).

f₃ ist injektiv.

Aus 1/(i+1) x_i = 1/(i+1) y_i folgt x_i = y_i für jedes i ∈ ℕ.

Comments

Warum sollte f₁(x) = f₁(y) sein?

---

Ja, da habe ich die Indizes durcheinandergebracht.