Hi. Es ist zwar nicht mehr aktuell. Aber eine alternative Lösung wäre das iterative Bildungsgesetz für die (rekursive) Folge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N} } \) anzugeben und mithilfe dessen die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz zu zeigen. Ich hoffe damit, den künftigen Studenten behilflich sein zu können.
Zuerst verallgemeinern wir die rekursive Folge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N} } \), indem wir die Zahl \( 5 \) durch eine reelle Variable \( a > 0 \) ersetzen. Die Folge sieht wie folgt aus:
$$ \begin{array}{rcl} a_1 & := & a > 0 \\ a_{n+1} & := & \frac{1}{2}( 1+ a_n ) \end{array} $$
Betrachte einige ersten Folgenglieder von \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \):
$$ \begin{array}{rllll} a_1 & = & a & = & \dfrac{1}{2^0}((2^0-1)+a) \\\\ a_2 & = & \dfrac{1}{2}(1+a) & = & \dfrac{1}{2^1}((2^1-1)+a) \\\\ a_3 & = & \dfrac{1}{4}(3+a) & = & \dfrac{1}{2^2}((2^2-1)+a) \\\\ a_4 & = & \dfrac{1}{8}(7+a) & = & \dfrac{1}{2^3}((2^3-1)+a) \\\\ a_5 & = & \dfrac{1}{16}(15+a) & = & \dfrac{1}{2^4}((2^4-1)+a) \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n+1} & = & \dfrac{1}{2^n}((2^n-1)+a) & & \\ \end{array} $$
Dadurch haben wir ein iteratives Bildungsgesetz für die Folge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \) gefunden. Mittels Induktion verifizieren wir noch schnell dieses Bildungsgesetzes:
Induktionsvoraussetzung: \( a_{n+1} = \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a) \)
Induktionsschritt: \( n+1 \mapsto n+2 \)
$$ \begin{array}{rcl} a_{n+2} & = & \frac{1}{2}(1+a_{n+1}) \\ & \overset{I.V.}{=} & \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2^n}((2^n-1)+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2}(\frac{2^n}{2^n}+\frac{1}{2^n}(2^n -1+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}(2^n+(2^n -1+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}(2^{n+1}-1+a) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}((2^{n+1}-1)+a) \;\;\;\;\;\;\;\; \square \\ \end{array} $$
Nun zeigen wir die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz und geben den vorhandenen Grenzwert der Folge an.
Beschränktheit:
Aus \( \;a_{n+1} = \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a) = 1+\frac{a-1}{2^n} \;\) folgt:
- Falls \( 0 < a < 1 \), dann gilt \( a-1 < 0 \) und \( a_{n+1} = 1+\frac{a-1}{2^n} < 1 \). Die Folge ist nach oben beschränkt bei \( 1 \).
- Falls \( 1 \leq a \), dann gilt \( a-1 \geq 0 \) und \( a_{n+1} = 1+\frac{a-1}{2^n} \geq 1 \). Die Folge ist nach unten beschränkt bei \( 1 \).
Monotonie:
Aus \( \;a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2^n}(2^n-1+a)-\frac{1}{2^{n-1}}(2^{n-1}-1+a) = \dots = \frac{1-a}{2^n}\;\) folgt:
- Falls \( 0 < a < 1 \), dann gilt \( 1-a > 0 \) und \( a_{n+1}-a_n = \frac{1-a}{2^n} > 0 \). Die Folge steigt monoton.
- Falls \( 1 \leq a \), dann gilt \( 1-a \leq 0 \) und \( a_{n+1}-a_n = \frac{1-a}{2^n} \leq 0 \). Die Folge fällt monoton.
Konvergenz und Grenzwert:
Da die Folge beschränkt und monoton ist, ist sie konvergent und hat einen Grenzwert. Wir nennen diesen Grenzwert \( g \).
$$ \begin{array}{rcl} g & := & \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} < \infty \\\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a) \\\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} 1+\frac{a-1}{2^n} \\\\ & = & 1 + \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a-1}{2^n} \\\\ & = & 1 + 0 \\\\ g & = & 1 \end{array} $$
Dadurch haben wir gezeigt, dass die (rekursive) Zahlenfolge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \) immer gegen \( 1 \) konvergiert. Außerdem für \( a_1 = a = 5 > 0 \) fällt die Folge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \) monoton.
\( \blacksquare \)
MfG
