Hi. Es ist zwar nicht mehr aktuell. Aber eine alternative Lösung wäre das iterative Bildungsgesetz für die (rekursive) Folge (an)n∈N anzugeben und mithilfe dessen die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz zu zeigen. Ich hoffe damit, den künftigen Studenten behilflich sein zu können.
Zuerst verallgemeinern wir die rekursive Folge (an)n∈N, indem wir die Zahl 5 durch eine reelle Variable a>0 ersetzen. Die Folge sieht wie folgt aus:
a1an+1 : = : =a>021(1+an)
Betrachte einige ersten Folgenglieder von (an)n∈N:
a1a2a3a4a5⋮an+1======a21(1+a)41(3+a)81(7+a)161(15+a)⋮2n1((2n−1)+a)=====201((20−1)+a)211((21−1)+a)221((22−1)+a)231((23−1)+a)241((24−1)+a)⋮
Dadurch haben wir ein iteratives Bildungsgesetz für die Folge (an)n∈N gefunden. Mittels Induktion verifizieren wir noch schnell dieses Bildungsgesetzes:
Induktionsvoraussetzung: an+1=2n1((2n−1)+a)
Induktionsschritt: n+1↦n+2
an+2==I.V.====21(1+an+1)21(1+2n1((2n−1)+a))21(2n2n+2n1(2n−1+a))2n+11(2n+(2n−1+a))2n+11(2n+1−1+a)2n+11((2n+1−1)+a)□
Nun zeigen wir die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz und geben den vorhandenen Grenzwert der Folge an.
Beschränktheit:
Aus an+1=2n1((2n−1)+a)=1+2na−1 folgt:
- Falls 0<a<1, dann gilt a−1<0 und an+1=1+2na−1<1. Die Folge ist nach oben beschränkt bei 1.
- Falls 1≤a, dann gilt a−1≥0 und an+1=1+2na−1≥1. Die Folge ist nach unten beschränkt bei 1.
Monotonie:
Aus an+1−an=2n1(2n−1+a)−2n−11(2n−1−1+a)=⋯=2n1−a folgt:
- Falls 0<a<1, dann gilt 1−a>0 und an+1−an=2n1−a>0. Die Folge steigt monoton.
- Falls 1≤a, dann gilt 1−a≤0 und an+1−an=2n1−a≤0. Die Folge fällt monoton.
Konvergenz und Grenzwert:
Da die Folge beschränkt und monoton ist, ist sie konvergent und hat einen Grenzwert. Wir nennen diesen Grenzwert g.
gg : ======n→∞liman+1<∞n→∞lim2n1((2n−1)+a)n→∞lim1+2na−11+n→∞lim2na−11+01
Dadurch haben wir gezeigt, dass die (rekursive) Zahlenfolge (an)n∈N immer gegen 1 konvergiert. Außerdem für a1=a=5>0 fällt die Folge (an)n∈N monoton.
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MfG