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Aufgabe:

Sei (an) eine rekursive Zahlenfolge mit an+1 = (1+an)/2 für alle n∈N und a1=5. Zeigen Sie:
- (an) ist beschränkt. Geben Sie eine untere und eine obere Schranke von (an)n∈N an.
- (an) ist monoton und damit konvergent.
- Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an).

Problem/Ansatz:

Die Funktion sollte m. M. n. beschränkt sein mit 1≤an≤5. Wie zeige ich es korrekt bei einer rekursiven Zahlenfolge? Ich wäre über die Monotonie gegangen. Da diese monoton fallend ist, ist die obere Schranke 5. Wenn ich aber an ≥ an+1 zeigen will, lande ich bei an≥1, womit ich nichts anfangen kann. Die untere Schranke sollte man mit der Monotonie und dem Grenzwert zeigen können, nur weiß ich hier wieder nicht wie man es bei rekursiven Folgen zeigt.


Die Konvergenz ist leicht zu zeigen. Die Funktion ist monoton fallend und nach VL gilt: Jede beschränkte monotone Folge reller Zahlen (an) konvergiert.

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Beste Antwort

Hallo,

wenn ana_n konvergieren sollte, so gilt limnan+1=limnan=a\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a und damit erhalten wir die Fixpunktgleichung a=1+a2    a=1a=\frac{1+a}{2} \implies a=1. Mit der Information kannst du i. d. R. ein wenig tricksen, denn es sollte dann ja an1a_n\geq 1 für alle nNn\in \mathbb{N} gelten, was du mit vollständiger Induktion leicht zeigen kannst. Außerdem weißt du damit, wenn a1=5a_1=5 ist und eventuell (bei Existenz) a=1a=1 gilt, dass die Folge monoton fällt, also an+1ana_{n+1}\leq a_n für alle nNn\in \mathbb{N} gilt, ebenfalls Beweis über Induktion.

(1) Beweis, dass an1a_n\geq 1 für alle nNn\in \mathbb{N} über Induktion

Induktionsanfang: a1=5>1a_1=5>1

Induktionsannahme: an1a_n\geq 1 für alle nNn\in \mathbb{N}

Induktionsschritt: an+1=1+an211+an2a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2}\geq 1 \Longleftrightarrow 1+a_n\geq 2, da an1a_n\geq 1 nach Induktionsannahme.

(2) Beweis, dass an+1ana_{n+1}\leq a_n für alle nNn\in \mathbb{N} über Induktion

Induktionsanfang: a2=35=a1a_2=3\leq 5=a_1

Induktionsannahme: an+1ana_{n+1}\leq a_n für alle nNn\in \mathbb{N}

Induktionsschritt: an+2=1+an+12an+1an+1+12an+1a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{2}\leq a_{n+1}\Longleftrightarrow a_{n+1}+1\leq 2a_{n+1} für alle nNn\in \mathbb{N}.

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Warum gilt denn  1+an21+an\frac{1+a_n}2\ge1+a_n ?

Ja, das ist natürlich falsch. Richtig wäre:an+1=1+an211+an2a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2}\geq 1 \Longleftrightarrow 1+a_n\geq 2 wobei an1a_n\geq 1 nach Annahme und damit eine wahre Aussage. Danke für den Hinweis.

Wenn man an>1a_n>1 bereits hat, kann man Monotonie auch direkt zeigen: anan+1=an12>0a_n-a_{n+1}=\frac{a_n-1}2>0.

Streber... ^^

Bei deinem Beweis zur Monotonie racine_carrée komme ich zum Punkt an+1+1 ≤ 2an+1 und weiß nicht mehr weiter.

Der Grenzwert kann dann einfach geschlussfolgert werden? Da die Annahme der Konvergenz stimmt (bewiesen durch Beschränktheit + Monotonie) kann man sagen, dass der durch die Fixpunktgleichung gefundene Wert der Grenzwert ist?

Der Beweis von Spacko ist da einfacher, danke!

Und kann man echt Konvergenz annehmen, um Beschränktheit und Monotonie zu zeigen und daraus Konvergenz zu schlussfolgern? Es fühlt sich irgendwie falsch an die Annahme mit den aus der Annahme gefolgerten Resultaten zu beweisen.

Das ist ja nur ein Trick, wie gesagt. Wenn du die Antwort von unten nach oben liest, ist es auch ein formaler Beweis. Diese Fixpunktgleichung kannst du auch im Kopf aufstellen und lösen.

Das ist quasi a-priori-Wissen unter bestimmten Annahmen, die aber nicht unmittelbar für die anderen Beweisschritte vonnöten wären. Wir bedienen uns keinen weiteren Voraussetzungen.

Der Grenzwert kann dann einfach geschlussfolgert werden? Da die Annahme der Konvergenz stimmt (bewiesen durch Beschränktheit + Monotonie) kann man sagen, dass der durch die Fixpunktgleichung gefundene Wert der Grenzwert ist?

Ja, das geht. Wenn du zeigst, dass ana_n monoton fällt, aber für fast alle Folgenglieder an1a_n\geq 1 gilt, folgt, dass a=1a=1 (Grenzwert) mit Fixpunktgleichung.


Habe gerade auch den letzten Teil (an+1+1 ≤ 2an+1) deines Monotoniebeweises verstanden. Ich stand auf dem Schlauch.

Dankeschön!

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Hi. Es ist zwar nicht mehr aktuell. Aber eine alternative Lösung wäre das iterative Bildungsgesetz für die (rekursive) Folge (an)nN (a_n)_{n\in\mathbb{N} } anzugeben und mithilfe dessen die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz zu zeigen. Ich hoffe damit, den künftigen Studenten behilflich sein zu können.

Zuerst verallgemeinern wir die rekursive Folge (an)nN (a_n)_{n\in\mathbb{N} } , indem wir die Zahl 5 5 durch eine reelle Variable a>0 a > 0 ersetzen. Die Folge sieht wie folgt aus:

a1 : =a>0an+1 : =12(1+an) \begin{array}{rcl} a_1 & := & a > 0 \\ a_{n+1} & := & \frac{1}{2}( 1+ a_n ) \end{array}

Betrachte einige ersten Folgenglieder von (an)nN (a_n)_{n \in \mathbb{N}} :
a1=a=120((201)+a)a2=12(1+a)=121((211)+a)a3=14(3+a)=122((221)+a)a4=18(7+a)=123((231)+a)a5=116(15+a)=124((241)+a)an+1=12n((2n1)+a) \begin{array}{rllll} a_1 & = & a & = & \dfrac{1}{2^0}((2^0-1)+a) \\\\ a_2 & = & \dfrac{1}{2}(1+a) & = & \dfrac{1}{2^1}((2^1-1)+a) \\\\ a_3 & = & \dfrac{1}{4}(3+a) & = & \dfrac{1}{2^2}((2^2-1)+a) \\\\ a_4 & = & \dfrac{1}{8}(7+a) & = & \dfrac{1}{2^3}((2^3-1)+a) \\\\ a_5 & = & \dfrac{1}{16}(15+a) & = & \dfrac{1}{2^4}((2^4-1)+a) \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n+1} & = & \dfrac{1}{2^n}((2^n-1)+a) & & \\ \end{array}
Dadurch haben wir ein iteratives Bildungsgesetz für die Folge (an)nN (a_n)_{n\in\mathbb{N}} gefunden. Mittels Induktion verifizieren wir noch schnell dieses Bildungsgesetzes:

Induktionsvoraussetzung: an+1=12n((2n1)+a) a_{n+1} = \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a)

Induktionsschritt: n+1n+2 n+1 \mapsto n+2
an+2=12(1+an+1)=I.V.12(1+12n((2n1)+a))=12(2n2n+12n(2n1+a))=12n+1(2n+(2n1+a))=12n+1(2n+11+a)=12n+1((2n+11)+a)                 \begin{array}{rcl} a_{n+2} & = & \frac{1}{2}(1+a_{n+1}) \\ & \overset{I.V.}{=} & \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2^n}((2^n-1)+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2}(\frac{2^n}{2^n}+\frac{1}{2^n}(2^n -1+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}(2^n+(2^n -1+a)) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}(2^{n+1}-1+a) \\\\ & = & \frac{1}{2^{n+1}}((2^{n+1}-1)+a) \;\;\;\;\;\;\;\; \square \\ \end{array}

Nun zeigen wir die Eigenschaften Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz und geben den vorhandenen Grenzwert der Folge an.

Beschränktheit:
Aus   an+1=12n((2n1)+a)=1+a12n   \;a_{n+1} = \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a) = 1+\frac{a-1}{2^n} \; folgt:
- Falls 0<a<1 0 < a < 1 , dann gilt a1<0 a-1 < 0 und an+1=1+a12n<1 a_{n+1} = 1+\frac{a-1}{2^n} < 1 . Die Folge ist nach oben beschränkt bei 1 1 .
- Falls 1a 1 \leq a , dann gilt a10 a-1 \geq 0 und an+1=1+a12n1 a_{n+1} = 1+\frac{a-1}{2^n} \geq 1 . Die Folge ist nach unten beschränkt bei 1 1 .

Monotonie:

Aus   an+1an=12n(2n1+a)12n1(2n11+a)==1a2n   \;a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2^n}(2^n-1+a)-\frac{1}{2^{n-1}}(2^{n-1}-1+a) = \dots = \frac{1-a}{2^n}\; folgt:
- Falls 0<a<1 0 < a < 1 , dann gilt 1a>0 1-a > 0 und an+1an=1a2n>0 a_{n+1}-a_n = \frac{1-a}{2^n} > 0 . Die Folge steigt monoton.
- Falls 1a 1 \leq a , dann gilt 1a0 1-a \leq 0 und an+1an=1a2n0 a_{n+1}-a_n = \frac{1-a}{2^n} \leq 0 . Die Folge fällt monoton.

Konvergenz und Grenzwert:
Da die Folge beschränkt und monoton ist, ist sie konvergent und hat einen Grenzwert. Wir nennen diesen Grenzwert g g .
g : =limnan+1<=limn12n((2n1)+a)=limn1+a12n=1+limna12n=1+0g=1 \begin{array}{rcl} g & := & \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} < \infty \\\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2^n}((2^n-1)+a) \\\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} 1+\frac{a-1}{2^n} \\\\ & = & 1 + \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a-1}{2^n} \\\\ & = & 1 + 0 \\\\ g & = & 1 \end{array}
Dadurch haben wir gezeigt, dass die (rekursive) Zahlenfolge (an)nN (a_n)_{n\in\mathbb{N}} immer gegen 1 1 konvergiert. Außerdem für a1=a=5>0 a_1 = a = 5 > 0 fällt die Folge (an)nN (a_n)_{n\in\mathbb{N}} monoton.

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MfG

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