Aufgabe:
die summe der erstens vier Glieder einer arithmetischen Folge beträgt 62. Die summe der ersten 10 Glieder beträgt 365…Bestimme die Folge!
Problem/Ansatz:
Habe leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll und wäre sehr dankbar um Hilfe
a+(a+d)+(a+2d)+(a*3d) = 62
a+(a+d)+(a+2d)+(a*3d) + (a+4d) + ... +(a+9d) =365
Löse dieses Gleichungssystem.
(Vereinfache vorher die linken Seiten beider Gleichungen durch Zusammenfassen.)
Vielen Dank.. wie kann ich das vereinfachen.. entschuldige tu mich echt schwer damit
Fasse die a's und die Vielfachen von d zusammen.
Wäre das dann 4a+7d?
4a stimmt. 7d liegt knapp daneben.
Wenn du korrigiert hast: Gleiches Spiel bei der zweiten Gleichung...
6d natürlich :)
Nach welcher Variable löse ich dann das Gleichungssystem?
Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen hat man nach erfolgreicher Lösung beide Variablen berechnet.
a sagt dir das erste Folgenglied, d sagt dir, um wie viel jedes nächste Glied größer ist.
Danke jetzt hab ichs☺️
Das freut mich!
Kannst Du zufällig hier auch helfen?
Bis zu welchem glied muss man die Folge 4,8,12,16,20 fortsetzen, damit die Summe der Glieder 1200 beträgt?
bis zum 25.Glied. \(a_{25}=100\)
es ist das 24. - siehe unten
Könntest du mir auch den rechenweg erklären?
Die Folgenglieder sind doch 4*1, 4*2, 4*3 , usw.
Die Summe der ersten n Folgenglieder ist 4*(1+2+3+...+n).
Ich hoffe, du kennst die Gaußsche Summenformel.
4*(1+2+3+...+n)=4*n*(n+1)/2 = 2n(n+1), und das soll 1200 werden.
Löse also 2n(n+1) = 1200.
Ja ;-)
Ist \(a_1=4\) so ist \(a_k=4 \cdot k\). Die Summe \(S_n\) von \(n\) Gliedern \(a_k\) ist $$S_n = \sum_{k=1}^n 4k = 4 \sum_{k=1}^n k = 4 \cdot \frac n2 (n+1)$$Ist \(S_n=1200\) so ist$$\begin{aligned} 2n(n+1) &= 1200 \\ n^2 + n - 600 &= 0 \\ \implies n_{1,2} &= -\frac 12 \pm \sqrt{\frac 14 + 600} \\ &= -\frac 12 \pm \frac{49}2\end{aligned}$$die negative Lösung entfältt, bleibt \(n=24\) und \(a_{24} = 4 \cdot 25 = 96\)
@Werner
Du hast in der letzten Zeile der Rechnung ein Minuszeichen vergessen.
-0,5+24,5=24
n=24
a_24=96
@MontyPython: stimmt - ist korrigiert. Ich hatte sogar die Probe gemacht und bei der Probe auch noch statt \((n+1)\) mit \((n-1)\) gerechnet!
Die Summe der ersten und 10. Zahl beträgt 365/5=73=a_1+a_10.
Die Summe der ersten und vierten Zahl beträgt 62/2=31=a_1+a_4.
Die Differenz der 10. und 4. Zahl ist 73-31=42=(10-4)d=6d → d=7
a_4=a_1+3d = a_1+21 → a_1+a_4=2a_1+21=31 → a_1=5
Ich glaube, du erklärst hier die falsche Aufgabe.
@abakus:
\(a_n=5+7\cdot n ~~~;~~~ n\in \mathbb N\)
ist die Lösung dieser Aufgabe.
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