Bedingung für Invertierbarkeit von 2x2 Matrizen für die A^T=A gilt

Question

Welche Bedingung müssen diejenigen 2x2-Matrizen bzw. deren Elemente erfüllen, für die A^T=A gilt, damit sie invertierbar sind? Berechnen Sie, wenn möglich, die Inverse einer solchen Matrix.

Kann mir hierbei jemand weiterhelfen?

Mir fehlt leider völlig der Ansatz wie ich daran gehen kann, sprich über Lösungsansätze/ -vorschläge wär ich sehr dankbar.

Haben Inversen bisher nur mit dem Schema (A ι E) in (E ι A^-1) zu überführen berechnet....

Answer 1

Damit A^T = A gilt muss A folgende Struktur haben

A = [a, b; b, c]

Damit die Matrix invertierbar ist muss die Determinante ungleich Null sein

DET([a, b; b, c]) = a·c - b^2 ≠ 0

Dann kannst du noch die Inverse berechnen

A^{-1} = 1/(a·c - b^2)·[c, -b; -b, a]

Haben Inversen bisher nur mit dem Schema (A ι E) in (E ι A-1) zu überführen berechnet....

Auch wenn ich hier einen einfacheren Weg gewählt habe kannst du es auch mit dem Gauss-Verfahren machen. Das funktioniert mit Buchstaben doch so ähnlich wie mit Zahlen.