Beweis der Invertierbarkeit von 2x2 Matrizen mit Gauß-Algorithmus

Question

bei folgender Aufgabe bräuchte ich Hilfe:

( i) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass eine 2x2-Matrix

$$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ ∈Mat₂(K)

genau dann invertierbar ist,wenn ad-bc ≠0.

(ii) Berechnen sie mit dem Gauß-Algorithmus, für welche Skalare x,y,z ∈ K die 3x3-Matrix

$$B=\begin{matrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{matrix}$$ ∈ Mat₃(K)

invertierbar ist.
(Tipp: Machen Sie geeignete Fallunterscheidung)

Wir wissen:
Eine Mattrix ist invertierbar wenn folgende äquivalente Bedingungen gelten:

1. S:K^m→K^m ist bijektiv
2.S₁,__;S_n∈K^m bilden Erzeugendensystem
3.S₁,__;S_n∈K^m sind linear unabhängig

Wie zeigt man den überhaupt 1/2/3 an Matrizen? und welche der Bedingungen wäre bei (i) am sinnvollsten?

wegen der Formulierung genau dann, wenn muss ich ja hin/ und Rückrichtung zeigen also:
1.Wenn ad-bc ≠0 ist, ist die Matrix invertierbar
2. Wenn die Matrix invertierbar ist, ist ad-bc ≠0

Wie kann ich da rangehen?

mfg

Comments

Kann mir hier vielleicht nochmal jemand helfen?

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Schau mal hier: https://www.matheretter.de/wiki/inverse-matrix

Deine 1-3 brauchst du in diesen Aufgaben nicht wirklich da ja konkret auf die Vorgehensweise hingewiesen ist.

Hin- und Rückrichtung sind auch nicht einzeln nötig da du nach der Verwendung des Gauß-Algorithmus die Äquivalenzbedingung "A invertierbar genau dann, wenn A^-1 existiert" verwenden kannst.

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KAnnst du mir noch was zur B sagen?

Answer 1

Schreibe die folgende Matrix auf

[a, b, 1, 0]
[c, d, 0, 1]

Und bringe jetzt über das Gaussverfahren die Linke seite auf die Einheitsmatrix, sodass du rechts die Inverse hast. Dann sollte (ad - bc) wohl im Nenner stehen.

(ii) ist ähnlich zu lösen.

Magst du es jetzt selber mal probieren?

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Heißt dass, eine Matrix ist invertierbar wenn man sie auf die Einheitsmatrix umformen kann?
Und was meinst du hier genau mit Nenner?

Ich habe jetzt folgendes gemacht ( Habe nur die linke Seite gemacht, weil hier ja nicht nach der inversen gefragt ist):

Voraussetzung a,b,c,d ≠0
$$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$$
Erste Zeile mal c/a
$$\begin{matrix} c & b*c/a \\ c & d \end{matrix}$$
Zeile 1 von 2 subtrahieren:
$$\begin{matrix} c & b*c/a \\ 0 & d-b*c/a \end{matrix}$$
Die Erste Zeile mal 1/c
$$\begin{matrix} 1 & b*1/a \\ 0 & d-b*c/a \end{matrix}$$
Wenn d-b*c/a = 0 wäre, wäre die Matrix nicht invertierbar
Wenn d-b*c/a≠0 ist, dann kann man weiter umformen:
Zweite Zeile durchd-b*c/a teilen:
$$\begin{matrix} 1 & b*1/a \\ 0 & 1 \end{matrix}$$

Habe ich damit gezeigt dass die Matrix invertierbar für a,b,c,d ≠0 ist?

Wie mache ich jetzt die Rückrichtung?

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kann bitte jdn helfen ?

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"Habe ich damit gezeigt dass die Matrix invertierbar für a,b,c,d ≠0 ist?"
Nein das soll weder gezeigt werden noch ist das richtig. Die Beingung war ad-bc nicht 0.

Hier:

"Wenn d-b*c/a = 0 wäre, wäre die Matrix nicht invertierbar"

ist die richtige Bedingung drin.

Was noch fehlt ist der Fall a=0.

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Was muss ich denn jetzt noch genau rechnen?
Ich habe jetzt gezeigt

1.Wenn ad-bc ≠0 ist, ist die Matrix invertierbar

Wie zeige ich dass denn jetzt?
2. Wenn die Matrix invertierbar ist, ist ad-bc ≠0

Und was meinst du mit a=0 ? soll ich einfach die Matrix
$$\begin{matrix} 0 & b \\ c & d \end{matrix}$$ versuchen in zeilenstufen form zu bringen?