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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= x2-2x+2 Durch den Punkt(0/-2) werden Geraden gelegt. Welche berühren das Schaubild der f(x)?

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Durch den Punkt(0/-2) werden Geraden gelegt.

gm(x)=mx2g_m(x) = mx -2

Welche berühren das Schaubild der f(x)?

gm(x)=f(x)mx2=x22x+2x2(2+m)x+4=0x=2+m2±2+m24\begin{aligned} g_{m}(x) & =f(x)\\ mx-2 & =x^{2}-2x+2\\ x^{2}-(2+m)x+4 & =0\\ x & =\frac{2+m}{2}\pm\sqrt{\frac{2+m}{2}-4} \end{aligned}

Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn 2+m24=0\frac{2+m}{2}-4 = 0 ist. In diesem Fall berührt die Gerade das Schaubild von ff.

Beachte, dass das eine Besonderheit von quadratischen Funktionen ist und nicht auf allen anderen Funktionen verallgemeinert werden kann.

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Schnittpunkt der Geradenschaar gm(x)=m·x-2 mit f(x)= x2-2x+2 in Abhängigkeit von m bestimmen. Für welche Wahl von m kann es nur einen Schnittpunkt (xs|ys) geben?

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Aloha :)

Eine Gerade durch den Punkt (02)(0|-2) hat die Gleichung:g(x)=mx2g(x)=m\cdot x-2Diese Gerade soll die Funktionf(x)=x22x+2f(x)=x^2-2x+2 "berühren". In einem Berührpunkt x0x_0 sind die Funktionswerte und die Steigungen gleich:f(x0)=g(x0)undm=f(x0)=2x02f(x_0)=g(x_0)\quad\text{und}\quad m=f'(x_0)=2x_0-2Wir setzen das alles zusammen:f(x0)=g(x0)  einsetzen\left.f(x_0)=g(x_0)\quad\right|\;\text{einsetzen}x022x0+2=(2x02)=mx02  rechts vereinfachen\left.x_0^2-2x_0+2=\underbrace{(2x_0-2)}_{=m}\cdot x_0-2\quad\right|\;\text{rechts vereinfachen}x022x0+2=2x022x02  x02+2x0+2\left.x_0^2-2x_0+2=2x_0^2-2x_0-2\quad\right|\;-x_0^2+2x_0+24=x02  \left.4=x_0^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}x0=±2x_0=\pm2Das liefert uns zwei Geraden:g1(x)=(222)x2g1(x)=2x2g_1(x)=(2\cdot2-2)\cdot x-2\quad\Rightarrow\quad \underline{g_1(x)=2x-2}g2(x)=(2(2)2)x2g2(x)=6x2g_2(x)=(2\cdot(-2)-2)\cdot x-2\quad\Rightarrow\quad \underline{g_2(x)=-6x-2}

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f1(x) = x2-2x+2f2(x) = 2x-2f3(x) = -6x-2P(0|-2)P(-2|10)P(2|2)Zoom: x(-5…5) y(-3…20)


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