Aufgabe:
Aufgabe \( 4(2+2+2+4 \) Punkte)
(a) Seien \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlich dimensionaler \( K \) -Vektorraum und \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine orthonormale Teilmenge von \( V \). Beweisen Sie, dass \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) genau dann eine orthonormale Basis von \( V \) ist, wenn \( v=\sum \limits_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle \cdot v_{i} \) für alle \( v \in V \)
(b) Sei \( F: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen \( V, W \), sodass für alle \( v, v^{\prime} \in V \) die Gleichung \( \left\langle F(v), F\left(v^{\prime}\right)\right\rangle=\left\langle v, v^{\prime}\right\rangle \) gilt. Zeigen Sie, dass \( F \) injektiv ist.
(c) Seien \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein euklidischer Raum und \( \lambda \in \mathbb{R} \backslash\{0\} . \) Betrachten Sie die lineare Abbildung
$$ f: V \rightarrow V, x \mapsto \lambda x $$
Beweisen Sie, dass \( f \) ein Isomorphismus ist, aber im Allgemeinen keine Isometrie. Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist \( f \) eine Isometrie?
(d) Seien \( (V,\langle, \cdot,\rangle) \) ein endlich-dimensionaler euklidischer Raum, \( W \subseteq V \) ein Unterraum
und \( f: V \rightarrow V \) eine Isometrie. Beweisen Sie die folgende Implikation:
$$ f(W) \subseteq W \Longrightarrow f\left(W^{\perp}\right) \subseteq W^{\perp} $$
Gilt auch die umgekehrte Implikation?
Frage/Ansatz:
Ich wollte nur fragen wie man bei dieser Aufgabe vorgehen sollte, nur damit ich das verstehe, vielleicht hab ich auch nicht viel wissen noch über Skalarprodukte.
Danke für die Hilfe im Voraus
