Beispiel der Differentialrechnung: Ball nach oben, Geschwindigkeit nach t Sekunden in v gegeben; Hilfe!

Question

Liebe Leute,

folgendes Beispiel aus dem Mathematik-Unterricht schaffe ich nicht zu lösen. Im Forum finde ich dazu nur Lösungen aus der Physik (mit g=9,81 usw).

Ein Ball wird lotrecht nach oben geworfen. Seine Geschwindigkeit (in m/s) nach t Sekunden ist durch v ungefähr gegeben.

1) Bestimme, nach wie vielen Sekunden der Ball den höchsten Punkt erreicht hat.
2) Berechne, wie viele Meter der Ball zurückgelegt hat, bis er den höchsten Punkt erreicht hat.
v(t)= 20-10t

Wenn ich im GeoGebra die Funktion zeichne, kann man super das Ergebnis ablesen. x = 2 - also 2 Sekunden. Und bei y-Achse = 20 also 20 Meter. Da ich jedoch das Beispiel im Heft also schriftlich löse, stehe ich an. Wie kann man das ohne GG lösen?

LG

Answer 1

1) Bestimme, nach wie vielen Sekunden der Ball den höchsten Punkt erreicht hat.

Bestimme die Nullstelle von v.

Der Ball steigt zuerst nach oben bis zum höchsten Punkt und fällt dann herunter. Die Geschwindigkeit ist also ein mal positiv und ein mal negativ. Am höchsten Punkt, wenn sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit ändert, ist die Geschwindigkeit 0.

2) Berechne, wie viele Meter der Ball zurückgelegt hat, bis er den höchsten Punkt erreicht hat.

Integriere v von 0 bis zur berechneten Nullstelle.

Grundgleichung der gleichmäßg beschleunigten Bewegung ist

        s(t) = \(\frac{1}{2}\)at² + v₀t + s₀

mit

• t: Zeit
• s₀: Startort
• v₀: Anfangsgeschwindigkeit
• a: Beschleunigung
• s(t): Ort zum Zeitpunkt t
  

Außerdem ist

        v(t) = s'(t)
        a(t) = v'(t).

Insbesondere ist Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit. Du hast die Geschwindigkeit gegeben und willst den Ort, also musst du integrieren.

Answer 2

V(t)=20-10*t

Im höchsten Punkt ist V(t)=0

also V(t)=0=20-10*t  ergibt t=20/10=2 s Sekunden

S(t)=Integral(V(t)*dt

S(t)=Int.((20-10*t)*dt=-10*Int.(t*dt)+20*Int.(dt)=-10/2*t²+20*t+C

Integrationsgrenzen: obere Grenze to=2 s und untere Grenze tu=0 s

S=(-10/2*2²) - (-10/2*0²+20*0)

S=-20 m

Betrag S=h=20 m

oder über den Energieerhaltungssatz

kinetische Energie(Bewegungsenergie)=potenzielle Energie(Lageenergie)

Ekin=Epot

1/2*m*v²=m*g*h

h=v²/(2*g)=(20 m/s)²/(2*9,81 m/s²)=20,38..m

Answer 3

v ( t ) = 20 m/s -10 m/s^2 *t
20 m/s Abschußgeschwindigkeit nach oben
10 m/s^2 - Erdbeschleunigung nach unten
höchster Punkt
20 - 10*t  = 0
t = 2 sec
Der freie Fall vom höchsten Punkt ist die
umgekehrte Bewegung zum Aufstieg.
Die Geschwindigkeit bei einer beschleunigten
Bewegung nimmt linear zu
v ( mittel ) = [ v ( anfang ) + v ( ende )] / 2
v ( mittel ) = [ 0 + 20 ] / 2 = 10 m/s
s = v ( mittel ) * t
s = 10 m/s * 2 sec = 20 m

Der höchste Punkt liegt bei 20 m.