Quadratische Funktion. Ein Ball wird senkrecht in die Höhe geworfen. h(t) = at² + bt + c

Question

Ein  Ball wird senkrecht in die Höhe geworfen. Er steigt zuerst schnell, dann langsamer, bleibt schließlich stehen und fällt dann immer schneller wieder nach unten. Die Funktion h, welche die Höhe des Balls in Abhängigkeit der Zeit beschreibt ist eine quadratische Funktion: h(t) = at² + bt + c , wobei t = Zeit in Sekunden. Die Höhe beträgt 0 m nach 0 s, 15 m nach 1 s und 20 m nach 2 s.

a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

b) Berechnen Sie die maximale Höhe des Balls.

c) Nach wie vielen Sekunden kommt der Ball wieder am Boden auf?

Bitte um Lösungsweg der Aufgabe!

Answer 1

f(x) = a·x^2 + b·x + c

a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

Die Höhe beträgt 0 m nach 0 s, 15 m nach 1 s und 20 m nach 2 s.

f(0) = 0
c = 0

f(1) = 15
a + b + c = 15

f(2) = 20
4·a + 2·b + c = 20

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem. Das kannst du mit dem Additionsverfahren lösen. Du bekommst die Lösung: a = -5 ∧ b = 20 ∧ c = 0

Die Funktionsgleichung lautet also

f(x) = -5·x^2 + 20·x

b) Berechnen Sie die maximale Höhe des Balls.

Sx = -b/(2·a) = -20/(2·(-5)) = 2

Sy = 20 m

c) Nach wie vielen Sekunden kommt der Ball wieder am Boden auf?

f(x) = -5·x^2 + 20·x = x·(-5·x + 20) = 0
x = 0 oder x = 4

Hier noch eine Skizze:

Answer 2

 

die Funktionsgleichung lautet also allgemein

h(t) = at² + bt + c

 

a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

Wir setzen die gegebenen Informationen ein, um a, b und c zu bestimmen:

I. h(0) = a*0² + b*0 + c = 0 => c = 0

II. h(1) = a*1² + b * 1 = 15

III. h(2) = a*2² + b * 2 = 20

 

III. - 2 * II.

2a = - 10 => a = -5

Eingesetzt in zum Beispiel II.

-5 + b = 15 => b = 20

 

Die Funktionsgleichung lautet also

h(t) = -5t² + 20t

Probe:

h(0) = 0

h(1) = -5 + 20 = 15

h(2) = -20 + 40 = 20

 

b) Berechnen Sie die maximale Höhe des Balls.

Erste Ableitung = 0; 2. Ableitung < 0

h'(t) = -10t + 20 = 0

t = 2

h''(t) = 10 < 0

t = 2 eingesetzt in die Funktionsgleichung ergibt die maximale Höhe:

h(2) = -5 * 4 + 20 * 2 = 20 (Meter)

 

c) Nach wie vielen Sekunden kommt der Ball wieder am Boden auf?

h(t) = -5t² + 20t = 0

t(-5t + 20) = 0

t₁ = 0

-5t + 20 = 0

t₂ = 4

Nach 4 Sekunden kommt der Ball wieder am Boden auf.

 

 

Besten Gruß

Comments

Ähm:

Die Höhe beträgt 0 m nach 0 s, 15 m nach 1 s und 20 m nach 2 s.

Wozu machst du denn eine Probe wenn du das Ergebnis der Probe eh ignorierst?

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@Mathecoach:

Danke für den Hinweis!!! Habe bei der Berechnung von b gepatzt und bin dann von falschen Höhen ausgegangen; Asche auf mein Haupt!

Werde es gleich korrigieren.