Abweichungen bei Funktionen berechnen

Question

Hallo,

Gegeben sind die Funktionen f(x)= x^3-3x^2+2x und g(x)= 2x-2

b) Untersuchen Sie an welchen Stellen die Abweichung d=|f-g| ein lokales Minimus annimmt

Berchnen Sie, wie groß die Abweichung d an diesen Stellen is

c) Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f an diesen Stellen parallel zum Graphen ist

Wie berechne ich die Abweichung? Ich habe keine Idee

Answer 1

Minima |f-g| liegen an den Schnittpunkten x₁=1, x_2/3=1±√3.  

Answer 2

d = |f-g| = | x^3 - 3x^2 + 2 |   Das Problem ist wohl der Betrag.

minimal ist der jedenfalls, wenn er den Werft 0 hat, das ist bei den

Nullstellen von x^3 - 3x^2 + 2, also bei x=1 und bei x = 1 ±√3

Ansonsten bestimme die relativen Extrema von g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,

die liegen bei x=0 und x=2 und das sind bei |g| beides rel. Maxima.

Answer 3

Hallo,

Die Abweichung \(d=|f-g|\) kann wegen der Betragstriche niemals kleiner als \(0\) sein. Folglich ist \(d\) minimal, wenn \(d=0\) bzw. \(f=g\) ist. Vorausgesetzt ein oder mehrere Schnittpunkte existieren.

Schaut man sich die Graphen beider Funktionen an

~plot~ x^3-3x^2+2x;2x-2 ~plot~

so gibt es drei davon. Also rechne$$\begin{aligned} d &= f(x) - g(x) \\ &= x^3-3x^2+2x - (2x-2) \\ &= x^3 - 3x^2 + 2 = 0\end{aligned}$$da eine Lösung offensichtlich \(x_1=1\) ist, dividiere man durch \((x-1)\)$$d = (x^2 -2x - 2)(x-1)$$Die Nullstellen des ersten Faktor kann man mit der pq-Formel finden \(x_{2,3} = 1 \pm \sqrt 3\).

Berechnen Sie, wie groß die Abweichung d an diesen Stellen ist

.. na ja - die Abweichung ist \(=0\). Hast Du die Formeln richtig abgeschrieben?

c) Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f an diesen Stellen parallel zum Graphen ist

Eine Tangente ist an der Berührstelle immer(!) parallel zum Graphen (der selben Funktion!). Sonst wäre es ja nicht die Tangente!

Prüfe bitte nochmal, ob die Funktionen so richtig abgeschrieben sind.

Comments

Hallo, danke für die Antwort.

Die Funktionen sind richtig, ich hab nur leider Minimum statt Maximum geschrieben. Hab mich da in der Aufgabe vertan.

Aber das Maximum berechne ich doch einfach ganz normal dann mit Notwendigem und Hinreichendem Kriterium oder?

Ich verstehe einfach nicht, was es bedeutet zu berechnen, wie groß die Abweichung d an diesen Stellen ist? Sind das einfach die Punkte an denen das Maximum liegt?

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Aber das Maximum berechne ich doch einfach ganz normal dann mit Notwendigem und Hinreichendem Kriterium oder?

das ist richtig. Wobei das hinreichende Kriterium hier nicht bedeutet, dass \(d'' \lt 0\) sein soll (-> Maximum), sondern \(d'' \ne 0\) - wegen der Betragsstriche. Und streng genommen, müsste man auch noch einen Berührpunkt ausschließen. Aber den gibt's hier nicht.

Ich verstehe einfach nicht, was es bedeutet zu berechnen, wie groß die Abweichung d an diesen Stellen ist? Sind das einfach die Punkte an denen das Maximum liegt?

Jein - also nicht die Punkte selber, sondern die Differenz zwischen den Punkten bei der gleichen X-Position. Findest Du ein Maximum bei \(x_1\), so sollst Du lediglich \(d_1 = \left| f(x_1) - g(x_1) \right|\) berechnen.

Zur Kontrolle: \(x_1= 0\) und \(x_2=2\)

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Vielen Dank!

Okay, also bei x=0 liegt ein Maximum vor dementsprechend muss ich ja dann auch nur für dieses die Abweichung berechnen und da komme ich dann nach einsetzten auf d = 2

Hab ich das jetzt soweit richtig verstanden?

Was bedeutet das jetzt bezogen auf die Tangente?

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Was bedeutet das jetzt bezogen auf die Tangente?

Na ja - die müssen dann natürlich parallel verlaufen. Also im Punkt \(x_1= 0\) hat \(f\) die gleiche Steigung wie \(g\) (prüfe es bitte nach)

Überlege mal, was wäre, wenn sie nicht parallel verlaufen würden! Dann könnte man doch das \(x_1\) um ein \(\delta\) in die Richtung verschieben, wo sie beide auseinanderlaufen und dort wäre dann doch das \(d\) auch größer. Im Rückschluß hieße das, dass bei \(x_1\) kein(!) maximum von \(d\) wäre.

Schau Dir dazu mal folgenden Plot an

~plot~ x^3-3x^2+2x;2x-2;3.32(x+0.2)-0.528;x=-0.2;[[-3|4|-3|2]];{-0.2|-2.4};{-0.2|-0.528} ~plot~

an der pinkfarbenden Stelle \(x=-0,2\) sind die Tangenten (grün und rot) nicht parallel und laufen in positive X-Richtung auseinander. Bewegt man \(x\) nun nach rechts, dann wird naturgemäß der Abstand \(d(x)\) zwischen den beiden Punkten - also \(d(x)= |f(x)-g(x)|\) größer. Also kann bei \(x=-0,2\) kein Maximum liegen. Erst wenn die Tangenten parallel verlaufen, ist das Maximum erreicht.

Wobei die lineare Funktion \(g\) immer ihre eigene Tangente ist.

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... und da komme ich dann nach einsetzten auf d = 2
Hab ich das jetzt soweit richtig verstanden?

Ja - das ist auch richtig.