Lineare und Nichtlineare Iterierte Abbildung über Fruchtfliegen

Question

Fruchtfliegen (Drosophila melanogaster) lassen sich sehr einfach in einem großen Glas züchten. Wenn die Anzahl der Fruchtfliegen x_n am Tag n noch nicht zu groß ist, dann kann das Wachstum der Fruchtfliegenpopulation durch folgende Iterierte Abbildung näherungsweise beschrieben werden:

x_n+1=ax_n, x₀=100, a=1,5. (1)

a) Skizzieren Sie den Graphen der Iterierationsfunktion zusammen mit der Winkelhalbierenden sowie den Graphen der Zeitentwicklung der Fliegenpopulation.

b) Geben Sie eine explizite Lösung x_n für beliebige x₀ an!

c) Wie wird sich die Fliegenpopulation in diesem Modell langfristig entwickeln? Ist das realistisch?

d) Wenn sich zu viele Fliegen in dem Glas befinden, sollte die Wachstumsrate a kleiner werden, da nicht mehr genug Ressourcen für alle Fliegen vorhanden sind. Bei einer mathematischen Modellierung kann dies erreicht werden, indem man die konstante Wachstumsrate a durch den Term $$1-\frac { x }{ K } $$  ersetzt, sodass die effektive Wachstumsrate mit wachsender Population kleiner wird. Die resultierende Abbildung entspricht der Ihnen bereits bekannten Logistischen Gleichung:  $${ x }_{ n+1 }={ ax }_{ n }(1-\frac { { x }_{ n } }{ K } )$$.

Machen Sie sich klar, warum die Logistische Abbildung sich für kleine Populationsgrößen $$0<{ x }_{ n }\ll K$$  der Iterierten Abbildung in Gleichung (1) annähert.

e) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt von $$f(x)=ax(1-\frac { x }{ k } )$$

f) Wie groß darf x_n maximal sein, damit x_n+1 nicht negativ ist?

g) Für welchen Wert von x_n ist x_n+1 maximal? Wie groß darf also a maximal gewählt werden,damit die Populationsgröße (x_n+2) keine negativen Werte annimmt?

h) Bei welchen Populationsgrößen x_n hat die Logistische Abbildung Fixpunkte (für allgemeine Werte von a)? Sind sie für a = 1,5 stabil oder instabil?

i) Welche qualitativen Verhaltensweisen der Populationsgröße sind allgemein in Abhängigkeit von a möglich?

Ich hoffe Ihr könnt mir bei diesem komplizierten Thema helfen und verbleibe ,

Answer 1

zu a)
1.) Man zeichnet einen Graphen (x- und y-Achse).
2.) Zeichnet die Winkelhalbierende gestrichelt ein (f(x)=x)
3.) Ab hier geht es los... was ist der nächste Schritt?

zu b) Lösungsansatz:
a_n+1=1,5*100+1,5*101+1,5*102+...+a*x_n+1

zu c) Lösungsansatz:

Unrealistisch, da die Fruchtfliegenpopulation ins Unendliche wachsen würde, was biologisch absolut unmöglich ist, z.B. Nahrung, Konkurrenz, Tod uvm..

zu d)
Das Symbol \( \ll \) bedeutet "sehr viel kleiner als" also strebt gegen 0.

\( 0<x_{n} \ll K \)

\( x_{n}+1=a x_{n}\left(1-\frac{x_{n}}{K}\right) \)

x_n+1=ax_n, x₀=100, a=1,5   (1)

0<Anzahl Fruchtfliegen \( \ll \) Konstante Wachstumsrate

Die beiden Gleichungen sind fast gleich, nur das bei einer Gleichung hinter ax_n in Klammern noch \( \left(1-\frac{x_{n}}{K}\right) \) steht.

Comments

Mein aller letzter Versuch und gleichzeitig letzte Hoffnung die "Fruchtfliegen"-Aufgabe zum Teil gelöst zu bekommen. Ich habe Lösungsvorschläge gemacht und bisher noch keine Antwort erhalten. Eventuell ist es eine extrem schwere Aufgabe, da nichtlineare iterierte Abbildungen ohnehin schwerer sind als lineare iterierte Abbildungen.

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Okay, a) bis d) habe ich schon auf mein Blatt Papier geschrieben. Fehlt nur noch e) bis i) muss man bei e) statt

$$a{ x }(1-\frac { { x }_{ n } }{ K } )$$

$$a{ x }^{ 2 }(1-\frac { { x }^{ 2 }_{ n } }{ K } )$$

schreiben?

Bei e) in der Aufgabenstellung fehlt "mittels quadratischer Ergänzung", deshalb habe ich x² geschrieben.

Vermutung f):
Da immer mehr Fruchtfliegen pro Tag "entstehen" gibt es keine negativen Werte. 1. Tag 150, 2. Tag 151,5 usw.

Vermutung g):
Es gibt keinen maximalen Wert, da jeden Tag neue Fruchtfliegen dazukommen. Am 9. Tag sind es ca. 1405 Fruchtfliegen. Biologisch eigentlich Quatsch, da Fruchtfliegen auch sterben, Konkurrenz und Nahrungsknappheit sind biologische Faktoren, die Fliegen können nicht exponentiell bzw. Unendlich wachsen... Der Graph der Funktion wächst ohne Unterbrechung streng monoton steigend gegen +∞.

Vermutung h):
instabil

Vermutung i):
Auch wenn ich keine Ahnung habe, würde ich sagen, dass a bestimmt wie viel Fruchtfliegen jeden Tag entstehen. Würde a=2 sein, dann wären es am 1. Tag 200 Fliegen, im 2. 402, im 3. 606 Fruchtfliegen.

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Gut zu wissen, dass ich nicht der Einzigste bin, der keinen Schimmer von Nichtlinearen Iterierten Abbildungen hat. Kann man nichts ändern. Ich habe es wenigstens versucht und muss das beste aus dem machen, was ich verfasst habe. Dann wird es für mich die 1. Aufgabe sein die ungelöst bleibt. Diese Thematik kommt extrem selten in Schulen vor und dann wundert man sich, dass es nur wenige Experten auf diesem Gebiet gibt.

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Sieht doch gut aus!

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Wirklich? Das wäre ja toll! Es wäre natürlich besser gewesen, wenn ich es mathematischer formuliert hätte! Wenn das stimmt, dann kann ich meine Entwürfe doch nutzen. Ich habe es schon fast aufgegeben, da sich niemand gemeldet hat.