Fläche berechnen von 2 Graphen

Question

Berechne den Flächeninhalt, der von den Graphen der beiden Funktionen f und g begrenzt wird.

f(x) =-x^2+2x-3

g(x) -=x-5

d(x)=f(x)-g(x)=-x^2+2x-3=x(x-4)

D(x)=-1/3*(-5)^3+x^2

d(x)=x*(x-4)=0

x=0 oder x=-4

Muss dann noch einsetzen um die Fe zu berechnen.

Möchte wissen, ob ich richtig unterwegs bin.

Answer 1

Deine Differenzfunktion ist bereits verkehrt. Was hast du da gemacht?

Differenzfunktion
d(x) = (-x^2 + 2·x - 3) - (x - 5) = -x^2 + x + 2

Nullstellen
d(x) = 0 --> x = 2 ∨ x = -1

Stammfunktion
D(x) = - 1/3·x^3 + 1/2·x^2 + 2·x

Fläche
∫ (-1 bis 2) d(x) dx = D(2) - D(-1) = 10/3 - (-7/6) = 4.5

Answer 2

d(x)=f(x)-g(x)=-x²+2x-3-(x-5)= -x²+x+2

Nullstellen x=2 und x= -1.

\( \int\limits_{-1}^{2} \) ( -x²+x+2) dx=4,5

Answer 3

Aloha :)

Du musst zunächst die Differenzfunktion bilden und deren Nullstellen finden:

$$d(x)=f(x)-g(x)=(-x^2+2x-3)-(x-5)=-x^2+x+2$$$$\phantom{d(x)}=-(x^2-x-2)=-(x-2)(x+1)$$Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=-1\) und bei \(x=2\). Die Fläche ist nun:

$$F=\left|\,\int\limits_{-1}^2d(x)\,dx\right|=\left|\,\int\limits_{-1}^2\left(-x^2+x+2\right)\,dx\right|=\left|\,\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^2\,\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left(-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4\right)-\left(-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)\right)\right|=\left|\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)\right|$$$$\phantom{F}=4,5$$

Answer 4

Zuerst immer eine Zeichnung machen

Fläche zwischen 2 Graphen  A=Integral(f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

Bei dieser Aufgabe ergibt sich aus der Zeichnung f(x)=-1*x²+2*x-3  → obere Begrenzung

g(x)=x-5 → untere Begrenzung

1) Schnittstellen bestimmen f(x)=g(x)

-1*x²+2*x-3=x-5

0=-1*x²+2*x-3-x+5

0=-1*x²+1*x+2  dividiert durch -1

0=x²-1*x-2  Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

p=-1 und q=-2

x1,2=-(-1)/2+/-Wurzel((-1/2)-(-2))=1/2+/-Wurzel(1/4+2)=1/2+/-Wurzel(1/4+8/4)=1/2+/-Wurzel(9/4)

x1,2=1/2+/-3/2  → x1=1/2+3/2=4/2=2  und x2=1/2-3/2=-2/2=-1

Das sind die Integrationsgrenzen obere Grenze xo=2 und untere Grenze xu=-1

A=Integral(f(x)-g(x)=Int.(-1*x²+2*x-3)-(x-5)=Int.(-1*x²+2*x-3-x+5)*dx

A=Int.(-1*x²+1*x+2)*dx=-1*Int.(x²*dx)+1*Int.(x*dx)+2*Int.(dx)

A=-1/3*x³+1/2*x²+2*x+C

Fläche A=obere Grenze minus untere Grenze  xo=2 und xu=-1

A=(-1/3*2³+1/2*2²+2*2) - (-1/3*(-1)³+1/2*(-1)²+2*(-1)=(3 1/3) -( -1 1/6)

A=3 1/3+1 1/6=4,5 FE

A=4,5 FE (Flächeneinheiten)

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler)