Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms

Question

„Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt P(4/0). Die Funktion besitzt eine negative Nullstelle und an der Stelle x=2 liegt ein Wendepunkt. Die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten beträgt 32. Bestimme die Funktionsfleichung des Polynoms.“

Hi

Wie viel ich bis jtz habe:

3. Grades= f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d habe f(4)=0 gemacht und als

1. Gleichung:64a+16b+4c+d=0 gekriegt

und f(2)‘‘=0(also den Wendepunkt) gemacht als

2.Gleichung: f(2)‘‘=0 —> 12a+2b gekriegt

Nun kann man ja noch irgendwie eine Gleichung durch Integralrechnung bekommen, hier weiss ich jedoch nicht mit welcher Gleichung (ist es mit f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d?) und von wo bis wo die grenzen sind....

& wenn ich dann 3gleichungen habe, wie muss ich dann vorgehen um auf die Funktionsgleichung zu gelangen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt P(4/0). Die Funktion besitzt eine negative Nullstelle und an der Stelle x=2 liegt ein Wendepunkt. Die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten beträgt 32. Bestimme die Funktionsfleichung des Polynoms.

f(x) = a·(x - 4)^2·(x + b) = a·x^3 + a·b·x^2 - 8·a·x^2 - 8·a·b·x + 16·a·x + 16·a·b

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·a·x·(b - 8) + a·(16 - 8·b)

f''(x) = 6·a·x + 2·a·(b - 8)

f''(2) = 0 --> a·(b - 2) = 0 → b = 2

f(x) = a·(x - 4)^2·(x + 2)

g(x) = (x - 4)^2·(x + 2)

∫ (0 bis 4) g(x) dx = 64 → Da diese Fläche doppelt so groß ist, muss der Streckfaktor a = 0.5 sein.

f(x) = 0.5·(x - 4)^2·(x + 2)

Skizze:

~plot~ 0.5·(x - 4)^2·(x + 2);[[-3|6|-2|18]] ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Der Graph "berührt" die \(x\)-Achse im Punkt \((4|0)\) bedeutet, dass bei \(x=4\) eine doppelte Nullstelle liegt. Der Funktionsterm enhält also den Faktor \((x-4)^2\). Die Funktion bestitzt eine negative Nullstelle, etwa bei \(x=-b\). Dann gibt es einen weiteren Faktor \((x+b)\). Damit die Nullstelle auch negativ ist, muss \(b>0\) sein. Daher wählen wir den Ansatz:$$f(x)=a(x+b)(x-4)^2\quad;\quad a\ne0\;;\;b>0$$Bei \(x=2\) liegt ein Wendepunkt, also muss dort die 2-te Ableitung gleich Null sein. Zum einfacheren Ableiten rechnen wir den Ansatz von oben zumindest teilweise aus:$$f(x)=(ax+ab)(x^2-8x+16)$$$$f'(x)=a(x^2-8x+16)+(ax+ab)(2x-8)$$$$f''(x)=a(2x-8)+a(2x-8)+(ax+ab)\cdot2=2a(2x-8)+2a(x+b)$$Nun setzen wir die Wendepunkt-Bedingung ein:$$0=f''(2)=2a(4-8)+2a(2+b)=-8a+4a+2ab=-4a+2ab$$$$\phantom{0}=2a(b-2)\quad\Rightarrow\quad b=2$$Da \(a\) nicht gleich Null sein darf (sonst hätten wir \(f(x)=0\)), muss \(b=2\) sein. Vor dem letzten Hinweis haben wir folgendes Zwischenergebnis:$$f(x)=a(x+2)(x-4)^2$$Der Graph durchläuft den ersten Quadranten im Intervall \(x\in[0|4]\). Die dabe eingeschlossene Fläche soll \(32\) sein:$$32=\int\limits_0^4a(x+2)(x-4)^2dx=a\int\limits_0^4(x+2)(x^2-8x+16)dx$$$$\phantom{32}=a\int\limits_0^4(x^3-6x^2+32)dx=a\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+32x\right]_0^4$$$$\phantom{32}=a\left(4^3-2\cdot4^3+32\cdot4\right)=64a$$Also ist \(a=\frac{1}{2}\) und wir haben die Funktion gefunden:$$f(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)^2$$

~plot~ 0,5(x+2)(x-4)^2 ; {4|0} ; {-2|0} ; {2|8} ; [[-3|6|-2|17]] ~plot~

Comments

BOAH danke!

Das war ne echt hammer harte Aufgabe, vielen Dank für diese krass gute Erklärung!

aber

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aber...

Hast du etwas noch nicht verstanden?

Dann frag lieber nochmal hier nach ;)

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ups, das war sehr wahrscheinlich ein Tippfehler weiss auch nicht wieso diese aber dort ist sorry! Keine Angst alles verstanden haha.