Vektorrechnung; bitte um Hilfe

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die dreiseitige Pyramide ABCS mit der Grundflächenebene E ABC und den Trägergeraden g AS und g BS der Seitenkanten AS und Bs. 
E Abc: 2x+2y-z=9

g AS: X= (9/2/-2)+ s• (4/5/3),  g BS: X= (5/10/6)+ t• (6/1/-1).

Die Seitenkante CS steht normal auf die Grundfläche. Berechne die Koordinaten der vier Eckpunkte A,B,C und S der Pyramde!

Problem/Ansatz:

Ich beschäftige mich etwas länger mit Vektoren, aber bei dieser Aufgabe bin ich aufgeschmießen. Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. , an alle die Helfen.

Answer 1

Hallo Lorenzo,

Der Punkt \(S\) ist der Schnittpunkt der Geraden \(g_{AS}\) und \(g_{BS}\). Die Geradengleichung (Punkt-Richtungs-Form) durch \(CS\) bekommt man mit dem Punkt \(C\) und der Richtung des Normalenvektors \(\vec n\) der Ebene \(E\)$$E: \space 2x+2y-z=9 \quad \to \vec n = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ -1\end{pmatrix}$$Nun berechnest Du jeweils den Schnittpunkt von jeder der drei Geraden mit \(E\) und bekommst so die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\). Zur Kontrolle:$$S = \begin{pmatrix}17\\ 12\\ 4\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}5\\ -3\\ -5\end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix}-1\\ 9\\ 7\end{pmatrix}, \quad C= \begin{pmatrix}7\\ 2\\ 9\end{pmatrix}$$Und noch eine Skizze in Geoknecht3D zur Illustration und besseren Verständnis:

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen)

Falls irgendwas nicht klar ist, oder Du weißt nicht wie es geht, oder vielleicht kannst Du auch mit der Skizze nichts anfangen, so melde Dich bitte

Comments

Danke für die Antworten und danke für das Bild. Sehr nett

Answer 2

E: 2·x + 2·y - z = 9

Schnitt mit Gerade AS
A = [9, 2, -2] + s·[4, 5, 3] = [4·s + 9, 5·s + 2, 3·s - 2] in E einsetzen
2·(4·s + 9) + 2·(5·s + 2) - (3·s - 2) = 9 --> s = -1
A = [9, 2, -2] - 1·[4, 5, 3] = [5, -3, -5]

B rechnest du ebenso aus. Für C musst du zuerst noch die Gerade durch S senkrecht zu E aufstellen.