Werte des Parameters bestimmen bei gegebener Fläche

Question

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kann mir zufällig jemand weiterhelfen bei den folgenden Aufgaben? Ich weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll.

Aufgabe: Der Graph von f(x)=ax²+4ax schließt mit der x-Achse ein Flächenstück ab. Für welche Werte des Parameters a>0 hat diese Fläche den Inhalt A=16/3?

Ich danke euch im Voraus!

LG

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=ax^2+4ax=ax(x+4)$$Die Nullstellen sind bei \(x=0\) und \(x=-4\). Dazwischen liegt die gesuchte Fläche:$$F=\left|\int\limits_{-4}^0f(x)dx\right|=a\left|\int\limits_{-4}^0(x^2+4x)dx\right|=a\left|\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_{-4}^0\right|$$$$\phantom{F}=a\left|\left(\frac{(-4)^3}{3}+2\cdot(-4)^2\right)\right|=\frac{32}{3}a$$Da \(F=\frac{16}{3}\) sein soll, muss \(a=\frac{1}{2}\) sein.

Answer 2

Löse die Gleichung

        \(\int_{x_0}^{x_1} \left(ax^2+4ax\right)\mathrm{d}x = \frac{16}{3}\).

Dabei sind \(x_0\) und \(x_1\) die Nullstellen von \(f\).

Answer 3

f(x) = a·x^2 + 4·a·x = a·x·(x + 4)

∫ (-4 bis 0) (a·x^2 + 4·a·x) dx = - 32/3·a = -16/3 → a = 0.5

Answer 4

$$\int_{-4}^{0}f\left(x\right)dx=\int_{-4}^{0}(ax^2+4ax)dx=a\int_{-4}^{0}(x^2+4x)dx=-\frac{16}{3}$$

https://www.desmos.com/calculator/wlhe5lqeyc