Stammfunktion und Schnittpunkte

Question

Hallo

Ich habe 2 Funktionen gegeben

f(x) =1/2*(x^2-3)

g(x)=-x^2+12

Habe bereits die Schnittpunkte ermittelt

(-3/3)

Habe dann die Stammfunktion gebildet

f(x) =1/2*(x^2-3)

F(x)=1/3*x^3-3x

Wenn ich die Punkte einsetze, dann kommt 0 raus.

Es müsste aber 54 rauskommen

Habe dann noch eine andere Variante versucht

(3/3*3^3) -

(3/3*(-3)^3) =54

Da kommt das richtige Ergebnis raus

Habe wahrscheinlich die Stammfunktion zuerst falsch gebildet.

Beim online Rechner kommt raus

1/3*x^3-3*x durch 2

Verstehe nicht warum durch 2

Würde jetzt gerne wissen, wie es richtig funktioniert, vielleicht kann es mir wer erklären.

Answer 1

Fläche zwischen 2 Graphen A=integral(f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

f(x)=1/2*x³-3/2  und g(x)=-1*x²+12

Schnittstellen x1=-3 und x2=3

Nun eine Zeichnung machen (Graphen zeichnen),damit man sieht,ob sich die Begrenzungen im Integrationsbereich abwechseln

In der Zeichnung sieht man "obere Begenzung" ist g(x)=-1*x²+12  und "untere Begrenzung" ist f(x)=1/2*x²-3/2

A=Integral((-1*x²+12) - (1/2*x²-3/2)=Integral(-1*x²-1/2*x²+3/2)*dx=Integral(-3/2*x²+13,5)*dx

A=-3/2*Int.(x²*dx)+13,5*Int.(dx)

A=-3/(2*3)*x³+13,5*x+C=-1/2*x³+13,5*x+C   obere Grenze xo=3 und xu=-3

A=obere Grenze minus untere Grenze

A=(-1/2*3³+13,5*3) - (-1/2*(-3)³+13,5*(-3)=(27) - (-27=27+27=54

A=54 FE (Flächeneinheiten)

~plot~-1*x²+12;1/2*x²-3/2~plot~

Answer 2

d(x) = f(x) - g(x) = 1/2·(x^2 - 3) - (- x^2 + 12) = 1.5·x^2 - 13.5

D(x) = 0.5·x^3 - 13.5·x

Schnittstellen

d(x) = 0 --> x = ± 3

∫ (-3 bis 3) d(x) dx = D(3) - D(-3) = -27 - (27) = -54

Die Fläche beträgt also 54 FE.