Anzahl Nullstellen von f(x) = (x - 3)·(x^2 - 4)·(x^2 + 5)

Question

Die Anzahl der Nullstellen der reellen Funktion f mit der Gleichung

f(x) = (x - 3)·(x^2 - 4)·(x^2 + 5) sollen berechnet werden.

wie gehe ich hier vor ?

[Mathecoach] Ich habe mir erlaubt die Funktion anzupassen. Sollte sie wiedererwarten so nicht richtig sein bitte einfach über einen Kommentar Bescheid sagen.

Answer 1

f(x) = (x - 3)·(x^2 - 4)·(x^2 + 5)

(x - 3) hat eine Nullstelle bei 3

(x^2 - 4) hat zwei Nullstellen bei ±2

(x^2 + 5) hat keine Nullstelle

Damit haben wir 3 verschiedene Nullstellen

Comments

okay, vielen Dank, also muss ich selbst die NST angeben, die keine NST ist.

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okay, vielen Dank, also muss ich selbst die NST angeben, die keine NST ist.

Der Lehrer sollte ja schon genau wissen wir du die Nullstellen berechnet bzw. abgelesen hast.

Ich könntet sogar noch den Lehrer Fragen ob man die Anzahl der Nullstellen der einzelnen Faktoren begründen soll.

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Naja man sollte ankreuzen, wie viele NST diese Gleichung hat. Allerdings bin ich zuerst auf 2 NST gekommen, da die 3 NST nicht auszurechnen ging bzw. die Wurzel aus einer minus Zahl nicht gezogen werden kann. Ich hätte also nur das Feld mit den zwei NST angekreuzt. Also wenn ich NST berechne, und bei der 3. NST keine NST rauskommt, muss ich diese trotzdem "mit zählen" bzw. angeben. :)

Vielen Dank nochmal für die schnelle Rückmeldung

und ich hätte im Anschluss gleich noch eine Frage:

bei Bruchtermen, welche man vereinfachen muss, kann ich zum Beispeil: 2a/12axhoch2 kürzen? Also die 2a mit der 12a ? Oder darf man bei Faktoren nur gleiche Variablen wegkürzen?

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und bei der 3. NST keine NST rauskommt, muss ich diese trotzdem "mit zählen" bzw. angeben. :)

Ich hätte es im Zweifel für dich mit angegeben um dir selbst zu signalisieren das der Faktor keine Nullstelle besitzt.

Mitgezählt wird das aber nicht.

(x - 3) hat eine Nullstelle bei 3

(x2 - 4) hat zwei Nullstellen bei ±2

Ich addiere letztendlich auch nur 1 + 2 = 3 zusammen. Eben die eine Nullstelle für den einen Faktor und 2 Nullstellen für den zweiten Faktor.

Trotzdem habe ich den Dritten Faktor angegeben und noch gesagt das dieser keine Nullstelle liefert. Daher bleibt es bei den drei Nullstellen.

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bei Bruchtermen, welche man vereinfachen muss, kann ich zum Beispeil: 2a / 12ax^2 kürzen? Also die 2a mit der 12a ? Oder darf man bei Faktoren nur gleiche Variablen wegkürzen?

Beim Kürzen kürzt man gleiche Faktoren im Zähler und Nenner. Kürzen bedeutet auch Zähler und Nenner eines Bruches durch den gleichen Term zu teilen.

2a / (12ax^2)
= 2·a / (2·6·a·x·x)
= 1·1 / (1·6·1·x·x)
= 1 / (6·x·x)
= 1 / (6·x^2)

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vielen dank! :)

Answer 2

Soll das so heißen f(x)=(x-3)·x^2-4·x²⁺⁵ ? Dann wäre das f(x)=\( \frac{(x-3)·x^7}{x^2} \). Dieser Bruch nur die Nullstelle x=3.

Comments

Abgesehen von der ziemlich unrealistischen Nachfrage:

f(x)=\( \frac{(x-3)·x^7}{x^2} \). Dieser Bruch hat zwei Nullstelle x=0 und x=3.

Das meinst du aber wohl nicht ernst?

Answer 3

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

also 0=x-3  x1=3

0=x²-4  x2,3=+/-Wurzel(4)=+/-2  x2=2 und x3=-2

0=x²+5  x4,5=+/-Wurzel(-5) keine reelle Lösung (Schnittstelle mit der x-Achse)

weil der Radikant Term unter der Wurzel (-5)<0 ist Das ergibt dann 2 konjugiert komplexe Lösungen

z1=0 +i Wurzel(5)

z2=0-i Wurzel(5)

i=imaginäre Einheit

siehe Mathe-Formelbuch komplexe Zahlen

also hier 3 reelle Nullstellen x1=3  x2=2 und x3=-2 und 2 konjugiert komplexe Lösungen z1=... und z2=...