Betrachten Sie die Differentialgleichung für \( f(x) \)
$$ f^{\prime}(x)=2 f(x)+x-1 $$
a) Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Ordnung?, homogen oder inhomogen, linear oder nicht)?
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. (Tipp:
Wie konnte man DGLs von diesem Typ lösen? Was war nochmal Variation der Konstanten? Wenn Sie auf dem Weg zur Lösung partielle Integration benötigen, ist das ein gutes Zeichen)
c) Löse Sie das Anfangswertproblem mit \( f(0)=1 \)
Mein Ansatz:
a) Es handelt sich um eine inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.
b) Zuerst teile ich die DGL in eine homogene und in eine inhomogene DGL auf.
Meine homogene DGL ist:
f'(x) = 2 f(x)
<=> y' = 2y
<=> \( \frac{dy}{dx} \) = 2y | * dx
<=> dy = 2y dx | :y
<=> \( \frac{1}{y} \) dy = 2 dx | ∫ (...)
<=> ln(|y|) + c1 = 2x + c2 | - c1
<=> ln(|y|) = 2x + c | e(...)
<=> |y| = e2x + c
<=> y = -e2x + c
Dies ist die Lösung meiner homogenen DGL, allerdings bin ich mir nicht sicher ob der Ansatz richtig ist.
Für die Lösung der DGL muss ich ja die Lösung der homogenen DGL mit der Lösung der inhomogenen DGL addieren.
Meine eigentliche Frage bezieht sich nun auf die Lösung der inhomogenen DGL
Ich habe leider keinen Ansatz wie ich die inhomogene DGL lösen kann bzw. weiß nicht einmal was genau der inhomogene Teil der DGL ist.
Über Tipps, Hilfestellungen oder ähnliches würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im Voraus!