Differentialgleichung mit Variation der Konstanten

Question

Betrachten Sie die Differentialgleichung für \( f(x) \)
$$ f^{\prime}(x)=2 f(x)+x-1 $$
a) Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Ordnung?, homogen oder inhomogen, linear oder nicht)?
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. (Tipp:
Wie konnte man DGLs von diesem Typ lösen? Was war nochmal Variation der Konstanten? Wenn Sie auf dem Weg zur Lösung partielle Integration benötigen, ist das ein gutes Zeichen)
c) Löse Sie das Anfangswertproblem mit \( f(0)=1 \)

Mein Ansatz:

a) Es handelt sich um eine inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

b) Zuerst teile ich die DGL in eine homogene und in eine inhomogene DGL auf.

Meine homogene DGL ist:

f'(x) = 2 f(x)

<=> y' = 2y

<=> \( \frac{dy}{dx} \) = 2y  | * dx

<=> dy = 2y dx  | :y

<=> \( \frac{1}{y} \) dy = 2 dx  | ∫ (...)

<=>  ln(|y|) + c₁ = 2x + c₂  | - c₁      

<=> ln(|y|) = 2x + c  | e^(...)

<=> |y| = e^{2x + c}

<=> y = -e^{2x + c}

Dies ist die Lösung meiner homogenen DGL, allerdings bin ich mir nicht sicher ob der Ansatz richtig ist.

Für die Lösung der DGL muss ich ja die Lösung der homogenen DGL mit der Lösung der inhomogenen DGL addieren.

Meine eigentliche Frage bezieht sich nun auf die Lösung der inhomogenen DGL

Ich habe leider keinen Ansatz wie ich die inhomogene DGL lösen kann bzw. weiß nicht einmal was genau der inhomogene Teil der DGL ist.

Über Tipps, Hilfestellungen oder ähnliches würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

die letzte Zeile ist leider falsch, die Lösung der hom. Gleichung lautet:

y_h= C e^(2x)

Meine eigentliche Frage bezieht sich nun auf die Lösung der inhomogenen DGL

---->

Setze C=C(x)

yp= C(x) *e^(2x)

yp'= C'(x) *e^(2x) +C(x) *e^(2x) *2 (Produktregel)

Setze dann yp und yp' in die Aufgabe ein

C(x) muß sich kürzen, wenn Du es richtig getan hast.

y=y_h+y_p

_{Zum Schluss dann AWB in die Aufgabe einsetzen.}

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!! :)

Answer 2

Aloha :)

Deine Überlegungen sind alle richtig, fast bis zum Ende. Die Betragsstriche um \(y\) entfallen, weil die e-Funktion niemals \(\le0\) wird. Die Lösung der homogenen DGL ist daher:$$y_h=e^{2x+c}=e^{-2x}\cdot e^c=A\cdot e^{2x}\quad;\quad A:=e^c=\text{const}$$Die inhomogene Lösung erhältst du nun, wenn du die Konstante \(A\) nicht mehr konstant lässt, sondern auch als Funktion von \(x\) ansiehst, \(A=A(x)\). Dieses Verfahren heißt "Variation der Konstanten". Mit diesem Ansatz gehst du dann in die inhomogene DGL:

$$f'(x)=2f(x)+x-1$$$$A'(x)\cdot e^{2x}+A(x)\cdot2e^{2x}=2 A(x)\cdot e^{2x}+x-1$$$$A'(x)\cdot e^{2x}=x-1$$$$A'(x)=e^{-2x}(x-1)$$Wir erhalten \(A(x)\) mittels partieller Integration (das ist das gute Zeichen!!!)

$$A(x)=\int (x-1)e^{-2x}dx=(x-1)\cdot\frac{e^{-2x}}{-2}-\int1\cdot\frac{e^{-2x}}{-2}dx$$$$\phantom{A(x)}=-\frac{x-1}{2}e^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx=-\frac{x-1}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+c_2$$$$\phantom{A(x)}=e^{-2x}\left(-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+c_2=\frac{e^{-2x}}{4}(1-2x)+c_2$$Damit haben wir die Lösung der inhomogenen DGL fertig:$$y_(x)=\left(\frac{e^{-2x}}{4}(1-2x)+c_2\right)\cdot e^{2x}=\underline{\frac{1-2x}{4}+c_2\cdot e^{2x}}$$

Das Anfangswertproblem \(y(0)=1\) liefert uns \(c_2\):$$1=y(0)=\frac{1}{4}+c_2\quad\Rightarrow\quad c_2=\frac{3}{4}$$

Comments

Ich kann dir gar nicht genug danken!!

Vielen Dank für diese sehr anschauliche Erklärung!!

Ich habe die "Beste Antwort" dir und Grosserloewe gegeben allerdings hat mathelounge die Antwort nur Grosserloewe zugeschrieben ):

Wenn du weißt wie ich dir "Beste Antwort" geben kann dann lass es mich bitte wissen, denn das hast du definitiv verdient!

Vielen Dank nochmal :)

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Es kann ja nur eine "beste" Antwort geben. Es ist mir leider schon oft passiert, dass Leute mehrfach die beste Antowrt gewählt haben, sodass ich meine dadurch verloren habe. Ich weiß nicht, ob du die "beste" Antwort wieder umändern kannst.

Trotzdem Danke für dein positives Feedback. Dann weiß ich wenigstens, dass die viele Tipperei nicht umsonst war :)

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Ich habe nun wirklich alles versucht konnte es allerdings leider nicht umändern ):
Es tut mir wirklich sehr leid, aber deine Antwort hat mir wirklich unglaublich doll geholfen, also wirklich vielen Dank nochmal!

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Ist nicht schlimm, dann vielleicht beim nächsten Mal... ;)

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Auf jeden Fall :)