bis n-k=1
n-k muss nicht 1 sein?
Die Anzahl ist: (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 = (n-1)n/2 Mach dir das klar.
Dann denken wir mal weiter:
für n = 2 ist eine beliebige 2-Form durch u(b1,b2)=:a eindeutig bestimmt. Definieren wir uns jetzt mal die 2-Form \( u_{1,2} \) durch \( u_{1,2}(b_1,b_2) := 1 \). Dann gilt \( u = a \cdot u_{1,2} \)
für n = 3 ist eine beliebige 2-Form durch u(b1,b2)=:a, u(b1,b3)=:b und u(b2,b3)=:c eindeutig bestimmt. Wir definieren die 3 2-Formen
$$ u_{1,2} : u_{1,2}(b_1,b_2) := 1, ~u_{1,2}(b_1,b_3) := 0, ~u_{1,2}(b_2,b_3) := 0 \\ u_{1,3} : u_{1,3}(b_1,b_2) := 0, ~u_{1,3}(b_1,b_3) := 1, ~u_{1,3}(b_2,b_3) := 0 \\ u_{2,3} : u_{2,3}(b_1,b_2) := 0,~ u_{2,3}(b_1,b_3) := 0, ~u_{2,3}(b_2,b_3) :=1 $$
Dann gilt $$ u = a \cdot u_{1,2} + b \cdot u_{1,3} + c \cdot u_{2,3} $$
Verallgemeinere das für beliebige n und zeige dann, dass die \( (u_{i,j}) \) eine Basis des Raums der 2-Formen bilden.
Dann ist die Dimension?
