Dimension des K-Vektorraum von allen 2-Formen

Question

Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp zu folgender Aufgabe geben?

Bestimmen Sie die Dimension des $K$ -Vektorraum von allen 2 -Formen $\mu: V^{2} \rightarrow K$.

Hinweis: Betrachten Sie Korollar 5.2.16.

Comments

Was steht denn in Korollar 5.2.16?

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Dort steht, dass (b1,...,bn) eine Basis von V ist und u eine K-Form auf V. Dann ist u eindeutig bestimmt durch die Werte u(bi1,...,bik,) für alle 1<=i1<..<ik<=n.

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Jetzt hat dein V eine Basis der Form (b1, ..., bn). Und du betrachtest eine 2-Form u auf V. Durch welche Werte ist diese dann eindeutig bestimmt? Dann zähl wie viele das sind.

Falls du es mit n nicht direkt hinbekommst nimm erst n=1,2,3,4 und versuche dann zu verallgemeinern.

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Durch n Werte?

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n=2:

u(b1, b2)

Also 1 Wert

n=3:

u(b1,b2), u(b1,b3),

u(b2,b3)

hier 3 Werte

n=4:

u(b1,b2), u(b1,b3), u(b1,b4),

u(b2,b3), u(b2,b4),

u(b3,b4),

Hier 6 Werte.

Für allgemeines n? Tipp: die Zeilenumbrüche in der Aufzählung sind Absicht.

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Daraus würde ich laut deinem Tipp schließen, dass je nach n, die Werte durch n-1+n-2+n-3...bis n-k=1 Werte beschrieben werden können?

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bis n-k=1

n-k muss nicht 1 sein?

Die Anzahl ist: (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 = (n-1)n/2 Mach dir das klar.

Dann denken wir mal weiter:

für n = 2 ist eine beliebige 2-Form durch u(b1,b2)=:a eindeutig bestimmt. Definieren wir uns jetzt mal die 2-Form $u_{1,2}$ durch $u_{1,2}(b_1,b_2) := 1$. Dann gilt $u = a \cdot u_{1,2}$

für n = 3 ist eine beliebige 2-Form durch u(b1,b2)=:a, u(b1,b3)=:b und u(b2,b3)=:c eindeutig bestimmt. Wir definieren die 3 2-Formen

$$u_{1,2} : u_{1,2}(b_1,b_2) := 1, ~u_{1,2}(b_1,b_3) := 0, ~u_{1,2}(b_2,b_3) := 0 \\ u_{1,3} : u_{1,3}(b_1,b_2) := 0, ~u_{1,3}(b_1,b_3) := 1, ~u_{1,3}(b_2,b_3) := 0 \\ u_{2,3} : u_{2,3}(b_1,b_2) := 0,~ u_{2,3}(b_1,b_3) := 0, ~u_{2,3}(b_2,b_3) :=1$$

Dann gilt $$u = a \cdot u_{1,2} + b \cdot u_{1,3} + c \cdot u_{2,3}$$

Verallgemeinere das für beliebige n und zeige dann, dass die $(u_{i,j})$ eine Basis des Raums der 2-Formen bilden.

Dann ist die Dimension?

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Wie ich das jetzt verstanden habe hast du dir im Beispiel mit n=3 die kanonische Standardbasis von R³ definiert, deshalb wäre die Dimension in diesem Beispiel 3. Würde man das jetzt für n=4 weiterführen hätten wir ja 6 Werte und könnten nach dem selben Prinzip die kanonische Standardbasis für R⁶ bilden womit die Dimension 6 wäre^.

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Ja so ungefähr. Dimension für n=4 ist 6. Mit der kanonischen Standardbasis im R^m hat das erstmal nichts direkt zu tun, aber es ist dazu isomorph.

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Also würde das so grob stimmen?

Einer aus meinem Kurs meint, dass die 2-Form bedeutet, dass n=2 fest ist das stimmt so aber nicht oder es bezieht sich darauf, dass u jeweils 2 Variablen hat?

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2-Formen haben immer 2 Argument. Mit n hat das nichts zu tun.

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Okay danke dir für deine Hilfe :)