Analytische Geometrie Schnittpunkt und -Winkel zweier Geraden.

Question

Gegeben:

g: \(3x - 4y + 6z -36 = 0\) 
h: \(r_x\) = \( \begin{pmatrix} 8\\-6\\2 \end{pmatrix} \) + s*\( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \)

a) Zeigen Sie dass sich g und h schneiden. Berechnen Sie den Schnittpunkt. 
b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel von g und h. 

Mein Lösungweg in Worten:

Ich habe aufgeschrieben, wass gegeben ist. 
Danach habe ich aus der Parameterform drei Gleichungen gewonnen. 
Ich habe diese drei Gleichungen so multipliziert, dass ich sie direkt in die Gleichung \(g\) einsetzen kann. 

Problem:
Dann habe ich die Gleichungen un \(g\)  eignesetzt und geschaut, ob es tatsächlich Null ergibt.
Das Problem ist, dass da noch der Term mit dem \(s\) drin ist. 

Trotzdem kann ich schauen, dass das ganze Null ergibt, sprich für welches \(s\) das der Fall ist. 

Dann kriege ich wenn \(s = -4\) ist

Frage:
1) Was ist, wenn \(s = -4\) gewählt wird ?
Ist der Schnittpunkt im Vektor bzw. Punkt, wenn ich in \(h\) das \(s = -4\) wähle ? 

2) Wie komme ich auf den Schnittwinkel?  
Ich weiss, dass \(tan(α) = c \) wobei \(c \in \mathbb{R} \) gilt.   


Bild: 
u

 

Answer 1

Hallo,

du setzt für s "-4" in die Geradengleichung ein und erhältst den Schnittpunkt \( \begin{pmatrix} 0\\ -18\\-6 \end{pmatrix} \) .

Den Winkel kannst du zum Beispiel berechnen mit

$$sin\alpha=\frac{|\vec{n}\circ \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}$$

wobei n der Normalenvektor der Ebene und u der Richtungsvektor der Geraden ist.

zur Kontrolle: alpha = 10,74°

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank !

Ist bei der Rechnung für den Winkel " n Kringel u " die Vektor-Vektor Multiplikation gemeint ?

Also werden jeweils die Komponenten multipliziert und zu den anderen Komponenten addiert ?

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Ja, das Skalarprodukt berechnet man genau so (Zähler = 6).

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Hallo Sylvia wie gehe ich vor, wenn epsilon eine Ebene is t ? Kann ich trotzdem obige Formel benutzen ? 

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Du sprichst in Rätseln. In deinen Texten tauchte bisher kein epsilon auf.

Du hattest bereits eine Ebene, das war die Ebene

3x−4y+6z−36=0

Diese Ebene hattest du mit "g" bezeichnet. (Hast du vielleicht geglaubt, dass das eine Gerade wäre?)

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Hallo Limonade,

meinst du den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen?

Ja, dann verwendest du in der Formel die Normalenvektoren der Ebenen.

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In dieser Aufgabe (Mein Titel ist daher falsch) ist der Schnittwinkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene epsilon gesucht.

Ich frage mich wie man diesen Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade findet. Formel vom Skalarprodukt gilt bei zwei Geraden die sich schneiden.

Wie ist es bei Ebene und Gerade ?

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Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden enspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) :

$$cos\alpha=\frac{|\vec{n}\circ \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}$$

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene (wie in deiner Aufgabe)

Der Schnittwinkel alpha zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden, entspricht dem Komplementärwinkel des spitzen Winkels zwischen Normalenvektor \( \vec{n} \) und Richtungsektor \( \vec{u} \)

$$cos\phi=\frac{|\vec{n}\circ \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}\text{ und  } \alpha = 90°-\phi$$

oder

$$sin\alpha=\frac{|\vec{n}\circ \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}$$

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen:

Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \( \vec{n} \) und \( \vec{m} \)

$$cos\alpha=\frac{|\vec{n}\circ \vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}$$

Ist es jetzt klar?

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Okay, was könnte in meinem Fall der Normalenvektor sein?

Etwa das Kreuzprodukt meiner Richtingsvektoren der Ebene epsilon ?

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Denn Normalenvektor kannst du an der Koordinatenform deiner Ebene ablesen:

g: 3x - 4y + 6z -36 = 0

\( \vec{n} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\-4\\6 \end{pmatrix} \)

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Perfekt ! Tausend dank ! :-))))

Stimmt, der Lehrer hatte das mal erwähnt. Aber ist bei mir überhaupt nicht mehr präsent gewesen und ich selbst wäre nicht mehr auf diese Idee gekommen.

Das ist dich auch bei einer Gerade so, nicht?

Wenn man die Parameterform einer Gerade in die dazugehörige Koordinatenform umschreibt, kann man deren Normale so ablesen.

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Wozu die Koordinatenform, wenn der Richtungsvektor reicht? Soweit ich weiß, gibt es die Koordinatenform einer Geraden  nur in R2.

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Ich meine, dass man an einer Koordinatenform einer Geraden in der analytischen Geometrie auch die Koordinaten der Normalen zu dieser Geraden ablesen kann. 
Ich meinte nicht, dass ich sie hier brauche. :-) 

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Alles klar, dann hatte ich dich falsch verstanden. Ja, den Normalenvektor kannst du dann auch ablesen.

Answer 2

Gerade im Raum g: x=a+r*m

a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)

r=Geradenparameter,ist nur eine Zahl

m(mx/my/mz)=Richtungsvektor

r=positive  dann geht es in positiver Richtung vom Stützpunkt A(ax/ay/az) aus

r=negativ dann geht es in negativer Richtung vom Stützpunkt A(ax/ay/az) aus,also in entgegengesetzter Richtung

Winkel zwischen 2 Geraden

(a)=arccos(Betrag(a*b/((a)*(b))

a*b=ax*bx+ay*by+az*bz   ist das Skalarprodukt

Betrag (a)=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag (b)=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Schnittwinkel ist der kleine Winkel zwischen den beiden Geraden (a)<90°

Comments

Sorry, siehe mein Kommentar bei obiger Antwort.

Wichtig für den Schnittwinkel :

(Mein Titel dieser Frage ist falsch)

Es handelt sich hier um eine Ebene epsilon und Gerade g. Nicht Gerade Gerade.