Analytische Geometrie - Ebene e enthält die Geraden g und h.

Question

Gegeben:

g: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) +t*\( \begin{pmatrix} -1\\0\\2 \end{pmatrix} \)
h: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\4 \end{pmatrix} \) +s*\( \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

Aufgaben: 

a) Bestimmen Sie die gegeseitige Lage der Geraden \(g\) und \(h.\) (Gemacht!)
Ich bekomme: Für \(s = 1\) und \(t = \) schneiden sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(S( 0 | 2 | 5 ).\) 

Folgende konnte ich nicht: 
b) \(e\) sei die Ebene, welche die Geraden g und h enthält. Stellen Sie die Parametergleichung von \(e\) auf.
c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von \(e\).  
d) Eine Gerade \(k\) geht durch die Punkte \(P( 4 | 0 | 3 )\) und \(Q( 0 | 3 | a ).\) Wie muss die Variable \(a\) gewählt werden, damit \(k\) echt parallel zu \(e\) verläuft.

Comments

Hallo limonade,

zur Illustration:

mache Dir das Problem und die von Oswald beschriebene Lösung an Hand der Szene anschaulich klar. Klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D und Du bekommst einen besseren räumlichen Eindruck, wenn Du sie mit der Maus drehst.

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Vielen Dank für die Visualisierung. 

Okay, das werde ich im Verlauf des heutigen Tages sicher machen. :-)

Answer 1

b) sei die Ebene, welche die Geraden g und h enthält. Stellen Sie die Parametergleichung von auf.

Verwende einen Punkt einer Geraden als Aufpunkt und die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von .

Bestimme einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht zur Ebene steht. Das geht zum Beispiel über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.

Normalenform ist dann

        \(\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n}=0\).

Dabei ist \(\vec{a}\) der Ortsvektor eines Punktes der Ebene, zum Beispiel der Stützvektor aus der Parameterdarstellung.

Indem du das Skalarprodukt ausrechnest bekommst du die Koordinatengleichung.

d) Eine Gerade geht durch die Punkte (4|0|3) und (0|3|). Wie muss die Variable gewählt werden, damit echt parallel zu verläuft.

Löse die Gleichung

        \(\vec{PQ} = r\cdot \vec{b_1}+s\cdot \vec{b_2}\)

wobei \(\vec{b_1}\) und \(\vec{b_2}\) die Richtungsvektoren der Ebene sind.

Comments

Schon mal vielen Dank Oswald, ich versuche es zu lösen und gebe dann Feedback.

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Eine Frage:
Die Aufgabe b) hast du ähnlich wie Roland gelöst. 

Ich weiss was eine Ebene ist. Ich kann mir aber schlecht vorstellen, wieso man für die Ebenengleichung einen Stützvektor der Geraden \(g\) oder \(h\) nehmen kann. 

Denn ich hätte gesagt, dass der einzige Vektor von dem ich mit hunderprozentiger Sicherheit weiss, dass der in der Ebene \(e\) liegt, nachdem ich den Schnittpunkt berechnet habe,  der Ortsvektor zum Schnittpunkt der beiden Geraden ist.

Von diesem Punkt aus geht der Richtungsvektor der Geraden \(g\) t-mal in seiner Ausrichtung aus weiter und ebenso macht das s-mal der Richtungsvektor der Geraden \(h.\) 

Nun ist das Problem, dass ich noch nicht einsehe, wieso die jeweiligen Stützvektoren auch in der Ebene \(e\) liegen. 
Beim Schnittpunkt als Stützvektor kann ich das aber mit 100% Sicherheit sagen, dass er in der Ebene liegt, denn erst von diesem Punkt aus wird eine Ebene erzeugt.

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wieso man für die Ebenengleichung einen Stützvektor der Geraden \(g\) oder  \(h\) nehmen kann. 

Als Stützvektor darfst du den Ortsvektor jedes Punktes der Ebene verwenden.

Jeder Punkt von \(g\) liegt in der Ebene, weil ja die gesammte Gerade in der Ebene liegt.

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Aha, ich glaube ich sehe es ein.

Muss es aber vielleicht etwas setzen lassen. 

Wären allerdings die Richtungsvektoren nicht so gelegen, dass sie Sich schneiden, so könnten die Gerade g und h entweder Parallel oder Windschief liegen. 

Ich frage mich, was dann wäre. 
Ob man dann immer noch Eine Ebene findet die beide Geraden (obwohl windschief oder parallel) enthält. 

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Wären allerdings die Richtungsvektoren nicht so gelegen, dass sie Sich schneiden, so könnten die Gerade g und h entweder Parallel oder Windschief liegen. 

Richtig. Ebenfalls wenn der Aufpunkt anders wäre könnte das passieren.

Ob man dann immer noch Eine Ebene findet die beide Geraden (obwohl windschief oder parallel) enthält. 

Bei Parallelität ja, bei windschiefen Geraden nicht.

Answer 2

b) e sei die Ebene, welche die Geraden g und h enthält. Stellen Sie die Parametergleichung von e auf.

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) +t·\( \begin{pmatrix} -1\\0\\2 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von e. 

Durchmultiplizieren der Parametergleichung mit den Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren. Ergibt 4x+y+2x=12.

Comments

Schon mal vielen Dank auch dir Roland, ich versuche es zu lösen und gebe dir dann ebenfalls Feedback.

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Super, ich verstehe nun das Prinzip der Ebenengleichung:

In Worten:
Wir haben einen Schnittpunkt, indem sich beide Geraden \(g\) und \(h\) treffen. von dort aus gesehen, geht die Gerade \(g\) gemäss ihrem Richtungsvektor t-mal weiter. Ebenso geht von diesem Schnittpunkt die Gerade \(h\) s-mal weiter. 

Und so gelange ich durch Vektoraddition (Linearkombination) der beiden Richtugnsvektoren zu allen Punkten die in der Ebene liegen. 

Einfacher gesagt:
Von einem beliebigen Punkt (Stützpunkt) aus im Raum betrachtet, gehen zwei linear unabhängige Vektoren (Richtungsvektoren) beliebig oft weiter und erzeugen somit die Ebene \(e.\) 

Eine Unklarheit bleibt jedoch noch:
Meinem Vorstellungsvermögen nach, wäre es naheliegender wenn ich mit oben geschilderten Überlegungen den Schnittpunkt als Stützvektor nehme, weil der Schnittpunkt mit hundertprozentiger Sicherheit in der Ebene liegt, denn der Schnittpiunkt wäre: Stützvektor + 0*Richtungsvektor + 0*Richtungsvektor. 

Mir ist es jedoch unklar, wieso der Stützvektor der Geraden \(g\) als Stützvektor genommen werden kann, denn ich weiss nicht ob dieser ebenfalls in der Ebene liegt.
Ebenfalls könnte ich mich nicht so ohne weiteres für den Stützpunkt der Geraden \(h\) entscheiden.

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denn ich weiss nicht ob dieser ebenfalls in der Ebene liegt.

Aber wir reden doch von einer Ebene, die die Geraden g und h enthalten soll.

Damit liegt doch JEDER Punkt von g in E.

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Eine Unklarheit bleibt jedoch noch: Meinem Vorstellungsvermögen nach, wäre es naheliegender wenn ich mit oben geschilderten Überlegungen den Schnittpunkt als Stützvektor nehme. Mir ist es jedoch unklar, wieso der Stützvektor der Geraden g als Stützvektor genommen werden kann, denn ich weiss nicht ob dieser ebenfalls in der Ebene liegt.

Ich erinnere mich das ich früher auch mal gedacht habe warum man nicht den Schnittpunkt als Stützvektor nimmt.

Das ist in diesem Fall egal. Der Stützvektor ist ja ein Punkt der Ebene. Da allerdings beide Geraden vollständig in der Ebene liegen, kann jeder Ortsvektor der Geraden auch ein Stützvektor zur Ebene sein.

Was liegt also näher als den bekommen Ortsvektor der Geraden zu nehmen. Das geht nämlich auch wenn man keinen Schnittpunkt bestimmt hat oder auch wenn man den Schnittpunkt vorher falsch ausgerechnet hat.

Es macht also durchaus Sinn das genau so zu machen.

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Vielen Dank Der_Mathecoach und abakus

Bild:

Ich habe es mir nun aufgezeichnet und bin am überlegen, ob im Raum durch zwei Punkte immer eine Ebene geht. 

Ich sehe anhand meiner Zeichnung, dass ich durch zwei Punkte - zu diesen Punkten zeigt der Stützvektor1 und der Stützvektor2 - eine Ebene beschreiben kann.

Ich sehe auch, dass diese Punkte, zu denen eben diese fettgedruckten Vektoren zeigen in der Ebene e liegen.

Ich habe die Richtungsvektoren mit R1 und R2 gekennzeichnet.
Diese treffen sich in einem möglichen Schnittpunkt. Ich sehe anhand meiner Zeichnung, dass ein möglicher Schnittpunkt von R1 und R2 zwingend in der selben Ebene liegen muss, wie die Punkte zu denen eben diese beiden Stützvektoren zeigen.

Was habe ich gelernt ? 
In meiner Aufgabe liegt der Schnittpunkt in der selben Ebene wie die Punkte zu denen die Stützvektoren zeigen.  

Frage:
Gilt diese Beobachtung immer oder gibt es Beispiele von solchen Aufgaben bei denen die Ebene e nicht durch zwei Punkte zu denen der Stützpunktvektor1 und 2 zeigt beschrieben werden kann?

Gülte meine Beobachtung immer, so kann ich wenn eine Ebenengleichung gefragt ist, einen Stützvektor (entweder den von h oder den von g ) nehmen und setze von diesem Stützvektor aus dann beide Richtungsvekorten an um eine Ebene zu bekommen. 

 

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Wenn zwei Geraden eine eindeutige Ebene aufspannen müssen

1. Die Geraden echt parallel sein oder

2. sich schneiden.

In beiden Fällen liegen beide Geraden IMMER vollständig in der Ebene. D.h. jeder Punkt der beiden Geraden kann als Stützvektor der Ebene genommen werden.

Das gilt wie gesagt IMMER. Es kann also nie sein das Punkte der Geraden nicht in der Ebene liegen.

Answer 3

a) die Geraden schneiden sich bei t=1 und s=1  im Schnittpunkt Ps(0/2/5)

b) wir nehmen die Vektorielle Parametergleichung der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

a(ax/ay/az)=(0/2/5) wir nehmen den Schnittpunkt der beiden Geraden g: und h: weil der ja auf der Ebene liegt

als Richtungsvektoren nehem wir die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden g: und h: u(-1/0/2) und v(0/-2/1) 

E: x=(0/2/5)+r*(-1/0/2)+s*(0/-2/1)

Den Normalenvektor für die Normalengleichung der Ebene  E: (x-a)*n=0 kann man über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c  berechnen

u kreuz v=n

u(-1/0/2) und v(0/-2/1) ergibt mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

n(4/1/2) gekürzt

E: (x-(0/2/5)*(4/1/2)=0

Daraus ergibt sich die Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0  mit n(4/1/2)=n(a/b/c)

E: 4*x+1*y+2*z+d=0

Ausrechnen mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=

zu d)  Geradengleichung aufstellen Q(0/3/a)=(4/0/3)+1*(mx/my/mz)

mx=(0-4)=-4

my=(3-0=3

mz=a-3

m(4/3/(a-3)  ist der Richtungsvektor der Geraden und der muß Senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene stehen

Skalarprodukt m*n=mx*nx+my*ny+mz*nz=0

Den Rest schaffst du wohl selber.