Analytische Geometrie: Parameterdarstellung einer Geraden g

Question

1)

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor v( mit Pfeil drüber) an. Zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem ein.
A(4/2/3) , v(mit Pfeil drüber)= (-2 3 -4 )

2)

Bestimmen Sie den Punkt auf g, dessen x3-Koordinate null beträgt. Welche geometrische Bedeutung hat dieser Punkt?

Answer 1

zu 1) Schmeiß einfach alles in die allgemeine Punktrichtungsform rein. Sieht ja so aus:

$$ g:\vec{x}=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}\\ \vec{0a}: Stützvektor \ (hier \ Punkt \ A) $$

Zu2.) Setze die x_3 Zeile gleich 0 und löse nach r auf: $$ 0=a_3+r\cdot v_3 $$

Comments

ja ich hab den Punkt A eingezeichnet, weiss aber nicht wie ich den Vektor ab Punkt A weiterzeichnen soll

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Na du kannst jetzt zum Beispiel das 1-fache deines Richtungsvektor an deinen Ortsvektor addieren, um so einen zweiten Punkt zu bekommen. Und die verbindest du dann, bzw., zeichnest eine Gerade durch beide Punkte hindurch. Fertig.

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 Ist das so richtig?

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Ja, sieht gut aus.

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das heißt wenn ich punkt a habe, gehe ich ab dem punkt aus den vektor unabhängig der x3-achse?

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ab dem punkt aus den vektor unabhängig der x3-achse?

Ich verstehe grad nicht, was du damit meinst.

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ja also ich hab ja ab Punkt A den Vektor v eingezeichnet. Und da wir ja immernoch 3 Koordinaten haben, bin ich unabhängig der festgelegten x3-Achse den Vektor gegangen. Ist das erlaubt ?

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unabhängig der festgelegten x3-Achse

Was soll das heißen???

Vielleicht meinst du das Richtige, aber ich verstehe so deine Formulierung nicht.

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Welche Werte muss man für das einzeichnen nehmen?

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Es ist wie im zweidimensionalen ein Punkt einzuzeichnen: x Schritte in x-Richtung und y Schritte in y-Richtung.

Im dreidimensionalen kommt nun die z-Richtung dazu: Also dann noch z Schritte in z-Richtung laufen. Danach setzt man an der erreichten Stelle einen Punkt (oder ähnlich übliche Punktmarkierungen...).

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Wie man das einzeichnen muss weiß ich. Aber meine frage lautet, mit welchen werten man das macht

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Was willst du machen? Eine Gerade einzeichnen?

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Ja zu dieser Aufgabe halt. Die wurde zwar schon von emra gezeichnet, jedoch weiß ich nicht, mit welchen werten diese person das eingezeichnet hat

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Du hast einmal den Ortsvektor \(\vec{0a}=(4/2/3)\) und den Richtungsvektor \(\vec{v}=(-2/3/-4)\).

Das setzt du erstmal in die Punktrichtungsform ein:

\(\vec{x}(r)=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}\\ \vec{0a}: Stützvektor(als Ortsvektor) \ (hier \ Punkt \ A) \).

Dann hast du

\( \vec{x}(r)=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}= (4/2/3)+r\cdot (-2/3/-4)\)

Jetzt brauchst du noch einen zweiten Punkt. Durch diese beiden Punkte zeichnest du dann die Gerade hindurch.

Für den Erhalt eines zweiten Punktes setzt du irgendeinen Wert in \(r\) ein, zb 1 oder Lieblingszahl, aber nicht 0. Also zb für \(r=1\) hat man

\(\vec{x}(1)=(4/2/3)+1\cdot (-2/3/-4)=(2/5/-1)=:\vec{0b}\)

als weiteren Ortsvektor auf deiner Punktrichungsform deiner Geraden.

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Wenn man

(4/2/3)+r⋅(−2/3/−4)

(Mit r = 0,75) berechnet → das Ergebnis davon? Also (2,5 | 4,25 | 0) ?

Und (2 | 5 | -1)???

Die zwei grüne Punkte muss man dann einzeichnen?

Man benutzt dafür doch nur vektor v und Punkt A, oder.? Falls ja, dann ist die Zeichnung von emra doch falsch!?

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(2,5 | 4,25 | 0) ?

Ja.

Und (2 | 5 | -1)???

Wie bist du auf diesen Punkt gekommen?

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Wie bist du auf diesen Punkt gekommen?

Das haben Sie doch so geschrieben.

Für den Erhalt eines zweiten Punktes setzt du irgendeinen Wert in rrr ein, zb 1 oder Lieblingszahl, aber nicht 0. Also zb für r=1r=1r=1 hat man

x⃗(1)=(4/2/3)+1⋅(−2/3/−4)=(2/5/−1)= : 0b⃗\vec{x}(1)=(4/2/3)+1\cdot (-2/3/-4)=(2/5/-1)=:\vec{0b}x(1)=(4/2/3)+1⋅(−2/3/−4)=(2/5/−1)= : 0b

als weiteren Ortsvektor auf deiner Punktrichungsform deiner Geraden

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Du brauchst aber nur noch einmal einen Punkt berechnen, da du doch schon mit A=(4/2/3) einen Punkt hast, der in deiner Geraden liegt. B=(2/5/-1) habe ich mit r=1 berechnet.

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(Mit r = 0,75) berechnet → das Ergebnis davon? Also (2,5 | 4,25 | 0) ?

Ist das der Punkt auf g? Weil  (2,5 | 4,25 | 0) liegt ja jetzt nicht auf der geraden. Oder was hab ich da ausgerechnet?

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(2,5/4,25/0) ist ein weiterer Punkt auf deiner Geraden g.

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Aber der liegt nur kurz davor in meiner Zeichnung

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Das ist doch egal. Dein Papier ist auch nicht unendlich groß. Dann nimm eben einen Punkt, der noch auf dein Papier gezeichnet werden kann, indem du einen anderen Wert für r beutzt (zb deinen mit r=3/4). Dann hast du deine zwei Punkte A=(4/2/3) und C=(2,5/4,25/0).

Answer 2

Ich mal Dir das mit GeoGebra auf (ist vielliecht etwas einsichtiger?)

\( g(t) \, : \vec{X}=  \, \left( \begin{array}{r}4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}\hspace{-0.4em} \right) + t \; \left( \begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{array}\right) =  \, \left( \begin{array}{r}-2 \; t + 4\\3 \; t + 3\\ -4 \; t + 2\\ \end{array} \right)  \)

An den Vektor zu Punkt A wird der Vektor v mit einem Streckfaktor t angehängt:

von g(t) die x3 Komponente (in der schreibweise rechts gut zu sehen)

\(-4 \; t + 2 = 0 ===>  t= \frac{1}{2}  \)

\( P = g(\frac{1}{2})  =  \, \left( \begin{array}{r}3\\\frac{9}{2}\\ 0\\ \end{array} \right) \)

P ist der Durchstoßpunkt der Gerade g(t) durch die Ebene z=0...