Analytische Geometrie: Parameterdarstellung einer Geraden g

Question

1)

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor v( mit Pfeil drüber) an. Zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem ein.
A(4/2/3) , v(mit Pfeil drüber)= (-2 3 -4 )

2)

Bestimmen Sie den Punkt auf g, dessen x3-Koordinate null beträgt. Welche geometrische Bedeutung hat dieser Punkt?

Answer 1

zu 1) Schmeiß einfach alles in die allgemeine Punktrichtungsform rein. Sieht ja so aus:

$$g:\vec{x}=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}\\ \vec{0a}: Stützvektor \ (hier \ Punkt \ A)$$

Zu2.) Setze die x_3 Zeile gleich 0 und löse nach r auf: $$0=a_3+r\cdot v_3$$

Comments

ja ich hab den Punkt A eingezeichnet, weiss aber nicht wie ich den Vektor ab Punkt A weiterzeichnen soll

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Na du kannst jetzt zum Beispiel das 1-fache deines Richtungsvektor an deinen Ortsvektor addieren, um so einen zweiten Punkt zu bekommen. Und die verbindest du dann, bzw., zeichnest eine Gerade durch beide Punkte hindurch. Fertig.

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 Ist das so richtig?

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Ja, sieht gut aus.

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das heißt wenn ich punkt a habe, gehe ich ab dem punkt aus den vektor unabhängig der x3-achse?

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ab dem punkt aus den vektor unabhängig der x3-achse?

Ich verstehe grad nicht, was du damit meinst.

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ja also ich hab ja ab Punkt A den Vektor v eingezeichnet. Und da wir ja immernoch 3 Koordinaten haben, bin ich unabhängig der festgelegten x3-Achse den Vektor gegangen. Ist das erlaubt ?

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unabhängig der festgelegten x3-Achse

Was soll das heißen???

Vielleicht meinst du das Richtige, aber ich verstehe so deine Formulierung nicht.

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Welche Werte muss man für das einzeichnen nehmen?

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Es ist wie im zweidimensionalen ein Punkt einzuzeichnen: x Schritte in x-Richtung und y Schritte in y-Richtung.

Im dreidimensionalen kommt nun die z-Richtung dazu: Also dann noch z Schritte in z-Richtung laufen. Danach setzt man an der erreichten Stelle einen Punkt (oder ähnlich übliche Punktmarkierungen...).

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Wie man das einzeichnen muss weiß ich. Aber meine frage lautet, mit welchen werten man das macht

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Was willst du machen? Eine Gerade einzeichnen?

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Ja zu dieser Aufgabe halt. Die wurde zwar schon von emra gezeichnet, jedoch weiß ich nicht, mit welchen werten diese person das eingezeichnet hat

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Du hast einmal den Ortsvektor $\vec{0a}=(4/2/3)$ und den Richtungsvektor $\vec{v}=(-2/3/-4)$.

Das setzt du erstmal in die Punktrichtungsform ein:

$\vec{x}(r)=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}\\ \vec{0a}: Stützvektor(als Ortsvektor) \ (hier \ Punkt \ A)$.

Dann hast du

$\vec{x}(r)=\vec{0a}+r\cdot \vec{v}= (4/2/3)+r\cdot (-2/3/-4)$

Jetzt brauchst du noch einen zweiten Punkt. Durch diese beiden Punkte zeichnest du dann die Gerade hindurch.

Für den Erhalt eines zweiten Punktes setzt du irgendeinen Wert in $r$ ein, zb 1 oder Lieblingszahl, aber nicht 0. Also zb für $r=1$ hat man

$\vec{x}(1)=(4/2/3)+1\cdot (-2/3/-4)=(2/5/-1)=:\vec{0b}$

als weiteren Ortsvektor auf deiner Punktrichungsform deiner Geraden.

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Wenn man

(4/2/3)+r⋅(−2/3/−4)

(Mit r = 0,75) berechnet → das Ergebnis davon? Also (2,5 | 4,25 | 0) ?

Und (2 | 5 | -1)???

Die zwei grüne Punkte muss man dann einzeichnen?

Man benutzt dafür doch nur vektor v und Punkt A, oder.? Falls ja, dann ist die Zeichnung von emra doch falsch!?

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(2,5 | 4,25 | 0) ?

Ja.

Und (2 | 5 | -1)???

Wie bist du auf diesen Punkt gekommen?

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Wie bist du auf diesen Punkt gekommen?

Das haben Sie doch so geschrieben.

Für den Erhalt eines zweiten Punktes setzt du irgendeinen Wert in rrr ein, zb 1 oder Lieblingszahl, aber nicht 0. Also zb für r=1r=1r=1 hat man

x⃗(1)=(4/2/3)+1⋅(−2/3/−4)=(2/5/−1)= : 0b⃗\vec{x}(1)=(4/2/3)+1\cdot (-2/3/-4)=(2/5/-1)=:\vec{0b}x(1)=(4/2/3)+1⋅(−2/3/−4)=(2/5/−1)= : 0b

als weiteren Ortsvektor auf deiner Punktrichungsform deiner Geraden

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Du brauchst aber nur noch einmal einen Punkt berechnen, da du doch schon mit A=(4/2/3) einen Punkt hast, der in deiner Geraden liegt. B=(2/5/-1) habe ich mit r=1 berechnet.

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(Mit r = 0,75) berechnet → das Ergebnis davon? Also (2,5 | 4,25 | 0) ?

Ist das der Punkt auf g? Weil  (2,5 | 4,25 | 0) liegt ja jetzt nicht auf der geraden. Oder was hab ich da ausgerechnet?

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(2,5/4,25/0) ist ein weiterer Punkt auf deiner Geraden g.

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Aber der liegt nur kurz davor in meiner Zeichnung

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Das ist doch egal. Dein Papier ist auch nicht unendlich groß. Dann nimm eben einen Punkt, der noch auf dein Papier gezeichnet werden kann, indem du einen anderen Wert für r beutzt (zb deinen mit r=3/4). Dann hast du deine zwei Punkte A=(4/2/3) und C=(2,5/4,25/0).

Answer 2

Ich mal Dir das mit GeoGebra auf (ist vielliecht etwas einsichtiger?)

$g(t) \, : \vec{X}= \, \left( \begin{array}{r}4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}\hspace{-0.4em} \right) + t \; \left( \begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{array}\right) = \, \left( \begin{array}{r}-2 \; t + 4\\3 \; t + 3\\ -4 \; t + 2\\ \end{array} \right)$

An den Vektor zu Punkt A wird der Vektor v mit einem Streckfaktor t angehängt:

von g(t) die x3 Komponente (in der schreibweise rechts gut zu sehen)

$-4 \; t + 2 = 0 ===> t= \frac{1}{2}$

$P = g(\frac{1}{2}) = \, \left( \begin{array}{r}3\\\frac{9}{2}\\ 0\\ \end{array} \right)$

P ist der Durchstoßpunkt der Gerade g(t) durch die Ebene z=0...