Lösung von Gleichnungen

Question

Die Aufgabe lautet a hoch 3 mal b hoch x-2 - b hoch x+1 = a hoch 3 - b hoch 3

ich soll die definitionsmenge und lösungsmenge bestimmen.

kann mir hier jemand behilflich sein?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.a^3b^{x-2}-b^{x+1}=a^3-b^3\quad\right|\;\text{links }b^{x-2}\text{ ausklammern}$$$$\left.b^{x-2}\left(a^3-b^3\right)=a^3-b^3\quad\right|\;:(a^3-b^3)$$$$\left.b^{x-2}=1\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.(x-2)\ln b=\ln1=0\quad\right|\;:\ln b$$$$\left.x-2=0\quad\right|\;+2$$$$x=2$$Der Definitionsbereich ist \(x\in\mathbb{R}\), die Lösung ist \(x=2\).

Comments

Könnten Sie mir erklären wieso im 2 Schritt in der Klammer -b^3 steht?

Mfg

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Warum fragst du? Multipliziere zur Probe

\(b^{x-2}(a^3-b^3)\) aus.

Du erhältst tatsächlich \(a^3b^{x-2}-b^{x+1}\)

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Ja, aber ich versteh nicht wie man da auf -b^3 kommt, die Probe habe ich gemacht und komme auf b^(x+1)

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? ich verstehe nicht wie man da auf -b^3 kommt bitte um antworten

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Beim Multiplizieren von Potenzen werden die Exponenten addiert, beim Dividieren von Potenzen werden die Expoenten subtrahiert. Beim Ausklammern passiert daher Folgendes:$$a^3b^{x-2}+b^{x+1}=a^3b^{x-2}+b^{x+1-3}\cdot b^3=a^3b^{x-2}+b^{x-2}\cdot b^3$$$$=b^{x-2}(a^3+b^3)$$

Answer 2

a³ · b^x-2 - b^x+1 = a³ - b³

a³ · b^x-2 - a³ - b^x+1 + b³ = 0

a³(b^x-2-1)-b³(b^x-2-1)=0

(a³-b³)(b^x-2-1)=0

gilt für a=b oder für b^x-2=1.

Eine Potenz ist 1, wenn der Exponent 0 ist. Also x-2=0 bzw: x=2.

Lösung x=2.

Definitionsmenge war ℝ.

Comments

Vielen Dank,

wieso steht da aber -1 in in der klammer im 3 schhritt? a^3^(bx-2-1)-b^3^(bx-2-1)=0

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Minus×Minus=Plus

Answer 3

Solange a und b positiv sind, ist der Definitionsbereich ganz r. Wie sind a und b denn definiert?

Um die Lösungsmenge bzw. die Lösung zu bestimmen müsstest du nach x auflösen.

a^3·b^(x - 2) - b^(x + 1) = a^3 - b^3

a^3/b^2·b^x - b·b^x = a^3 - b^3

(a^3/b^2 - b)·b^x = a^3 - b^3

b^x = (a^3 - b^3)/(a^3/b^2 - b)

x = LN((a^3 - b^3)/(a^3/b^2 - b)) / LN(b)

Bei Bedarf können noch Doppelbrüche vereinfacht werden.