Aloha :)$$\left.x^2y^2y'=1\quad\right|\;y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.x^2y^2\frac{dy}{dx}=1\quad\right|\;\cdot\frac{dx}{x^2}$$$$\left.y^2\,dy=\frac{1}{x^2}\,dx\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\frac{y^3}{3}=-\frac{1}{x}+c\quad\right|\;c=\text{const}\;;\;\cdot3$$$$\left.y^3=-\frac{3}{x}+3c\quad\right|\;(\cdots)^{1/3}$$$$y=\left(-\frac{3}{x}+3c\right)^{1/3}$$Die Konstante \(c\) folgt aus der Anfangsbedingung \(y'(1)=1\):
$$1=y'(1)=\left[\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{x}+3c\right)^{-2/3}\cdot\frac{3}{x^2}\right]_{x=1}=\frac{1}{3}(3c-3)^{-2/3}\cdot3=(3c-3)^{-2/3}$$$$\Rightarrow3c-3=1\quad\Rightarrow\quad 3c=4\quad\Rightarrow\quad c=\frac{4}{3}$$Die gesuchte Lösung ist daher:$$y=\left(4-\frac{3}{x}\right)^{1/3}$$
