+1 Daumen
312 Aufrufe

Wie lautet die allgemeine Lösung der DGL:

 x2yy'=1                          y'(1)=-1

Avatar von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)x2y2y=1  y=dydx\left.x^2y^2y'=1\quad\right|\;y'=\frac{dy}{dx}x2y2dydx=1  dxx2\left.x^2y^2\frac{dy}{dx}=1\quad\right|\;\cdot\frac{dx}{x^2}y2dy=1x2dx  integrieren\left.y^2\,dy=\frac{1}{x^2}\,dx\quad\right|\;\text{integrieren}y33=1x+c  c=const  ;  3\left.\frac{y^3}{3}=-\frac{1}{x}+c\quad\right|\;c=\text{const}\;;\;\cdot3y3=3x+3c  ()1/3\left.y^3=-\frac{3}{x}+3c\quad\right|\;(\cdots)^{1/3}y=(3x+3c)1/3y=\left(-\frac{3}{x}+3c\right)^{1/3}Die Konstante cc folgt aus der Anfangsbedingung y(1)=1y'(1)=1:

1=y(1)=[13(3x+3c)2/33x2]x=1=13(3c3)2/33=(3c3)2/31=y'(1)=\left[\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{x}+3c\right)^{-2/3}\cdot\frac{3}{x^2}\right]_{x=1}=\frac{1}{3}(3c-3)^{-2/3}\cdot3=(3c-3)^{-2/3}3c3=13c=4c=43\Rightarrow3c-3=1\quad\Rightarrow\quad 3c=4\quad\Rightarrow\quad c=\frac{4}{3}Die gesuchte Lösung ist daher:y=(43x)1/3y=\left(4-\frac{3}{x}\right)^{1/3}

Avatar von 152 k 🚀

Um was für eine DGL handelt sich hierbei?

inhomogenes DGl? nicht lineareß

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage