Die Anzahl der Schüler, die unter den 100 befragten Schülern den Rigel kennen, ist binomialverteilt mit n = 100.
Der Hersteller schätzt p ≥ 50%. Das heißt schlimmstenfalls ist p = 50%. Es wird also die Binomialverteilung mit n = 100 und p = 50% zugrund gelegt. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Schüler, die den Rigel kennen.
Gesucht ist das größte k, so dass
P(X < k) ≤ 10%
ist. Prinzipiell kann man jetzt die möglichen Werte für k (0 bis 100) in die kumulierte Binomialverteilung einsetzen und prüfen ob die Gleichung erfüllt ist. Das ist natürlich aufgrund der vielen möglichen Werte für k mit erheblichem Aufwand verbunden. Es gibt aber einen Weg, die Anzahl der zu prüfenden Werte zu reduzieren:
Einen Anhaltspunkt, wo es sich lohnt, zu suchen, geben Sigmaregeln:
ca. 68% aller Ergebnisse befinden sich um Intervall [μ - σ, μ + σ]
ca. 90% aller Ergebnisse befinden sich um Intervall [μ - 1,64σ, μ + 1,64σ].
Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung, also
μ = n·p = 100 · 50% = 50
σ = √(n·p·(1-p)) = 5.
Du möchtest das x wissen, so dass
ca. 80% aller Ergebnisse befinden sich um Intervall [μ - x, μ + x].
Dann ist nämlich
P(X < μ - x) + P(μ + x) ≈ 20%
und somit
P(X < μ - x) ≈ 20% / 2 = 10%
weil die Binomialverteilung ungefähr symmetrisch um den Erwartungswert ist.
Es ist
μ - σ = 45
μ - 1,64σ = 41,8.
Damit hast du den Suchraum eingeschränkt auf 42, 43, 44, 45.
