Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

Question

Wie kann ich die folgenden Reihen so umschreiben, dass ich am Ende die Reihe hoch k habe?

Die Aufgaben lauten:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k+4}{k^{2}-3 k+7} \)

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k^{3}}{\left(k^{2}+1\right)^{4 / 3}} \)

Ich soll da jeweils die Konvergenz überprüfen und wollte zuerst das k ausklammern.

Answer 1

zur ersten Reihe: Für alle \(k\ge1\) gilt \(7k\ge7\). Es folgt$$k^2+4k\ge k^2-3k+7\Leftrightarrow\frac{k+4}{k^2-3k+7}\ge\frac1k.$$Daher divergiert die Reihe, weil die harmonische Reihe divergiert.

Zur zweiten Reihe: Zeige, dass die der Reihe zugrunde liegende Folge keine Nullfolge ist.