Umkehrung der Folgerung "aus z gerade folgt z² gerade"? (Video Irrationale Zahlen)

Question

https://www.youtube.com/watch?v=evE13aFbJho

Ist es ein Fehler bei 6:20 min?

Die Folgerung "aus z gerade folgt z² gerade" ist richtig, aber dann die Aussage einfach umkehren geht meines Erachtens so nicht. Damit die umgekehrte Richtung gilt, muss voraussetzt werden, dass sich z² als 2*2*k² schreiben lässt. Dabei nimmt man bereits implizt an, dass z gerade ist. Richtig wäre zu zeigen: Aus z ungerade folgt z² ungerade (ähnlich Video) und dann die Contraposition anzunehmen "aus z² nicht ungerade folgt z nicht ungerade" und dass dann zu "aus z² gerade folgt z gerade" zu vereinfachen.

Stimmt meine Position soweit?

Answer 1

Dieser Sachverhalt ist uns bekannt und wurde bereits hier erörtert:

Warum ergibt eine gerade Zahl quadriert auch eine gerade Zahl?

Dort haben wir u.a. den Fall des Quadrats der ungeraden Zahl beschrieben mit:

a = 2*k+1
a² = (2k+1)²
a² = 2*(2k²+2k)+1

Man könnte noch wesentlich mehr zu den Irrationalen Zahlen sagen, jedoch ist es aus didaktischer Sicht meist nicht sinnvoll, sich in einem Einführungsvideo zu intensiv damit auseinanderzusetzen.