Aloha :)
Achte bitte im Folgenden darauf, wie die Matrizen miteinander verknüft werden. Was unten aus der rechten Matrix rausfällt, passt oben in die linke Matrix hinein, weil die Basen gleich sind.$$f(x)=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\x_1-x_2\\x_2-x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}\quad\Rightarrow\quad F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$
$$F^B_{E_3}=F^{E_2}_{E_3}\cdot id_{E_2}^B=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$
$$F^{E_2}_C=id^{E_3}_C\cdot F^{E_2}_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1} \cdot F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{F^{E_2}_C}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)$$
$$F^B_C=id_C^{E_3}\cdot F^B_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1}\cdot F^{B}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$
In Teil b) sollen die Matrizen anhand des Vektors \((3|4)^T\) überprüft werden. Dazu müssen wir uns überlegen, wie dieser Eingangsvektor bezüglich der Basis \(B\) aussieht. Dazu stellen wir ihn mit den Basisvektoren von \(B\) dar:$$\binom{3}{4}_{E_2}=-1\cdot\binom{1}{0}+4\cdot\binom{1}{1}=\binom{-1}{4}_B$$Das Ergebnis der Abbildung bezüglich der Basis \(E_3\) lautet:$$F_{E_3}^{E_2}\cdot\binom{3}{4}_{E_2}=F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}$$Dieses Ergebnis können wir auch mit Koordinaten bezüglich der Basis \(C\) darstellen:$$\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}=8\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\-2\\1\end{array}\right)_C$$Nun prüfen wir die oben berechneten Matrizen durch:
$$F^B_{E_3}\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}\quad\checkmark$$
$$F_C^{E_2}\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$
$$F_C^B\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$