Modellierung mit der Binomialverteilung

Question

Liebe Lounge,

folgende Frage:

Für einen Eishockeyspieler werden über 20 Jahre seiner Karriere dessen Torschüsse und Treffer gezählt. Dabei werden noch solche Schüsse gewertet, die aus dem regulären Spielbetrieb entstanden (also keine Penaltys, etc.). Demnach hatten die Schüsse unterschiedliche Entfernungen, Gegenereinwirkungen und  sicherlich auch psychische Einflüsse (bspw. Zeit im Spiel, aktueller Spielstand, etc.).

Im Folgenden wird die relative Häufigkeit der Treffer als Trefferwahrscheinlichkeit angenommen werden. Diese sei 0,3.

Nun sollen verschiedene Aufgaben mithilfe der Bernoulli-Formel berechnet werden.

Ich habe zwei Fragen.

1. Liege ich richtig, dass im Zuge der Modellierung mit einer Bernoulli-Kette zahlreiche Vereinfachungen getroffen werden müssen? Sodass die oben genannten Varianzen vernachlässigt werden können? Denn der Spieler trifft beispielsweise sicherlich wahrscheinlicher, wenn er alleine auf einen Torhüter zuläuft, als wenn noch ein Gegenspieler da ist, der ihn hindert. Oder wenn seine Mannschaft schon hoch führt.

2. Ist die Warscheinlichkeit von p=0,3 fest? Da diese ja auf einer relativen Häufigkeit fußt, verändert sich diese ja strenggenommen während der einzelnen Stufen einer solchen Bernoull-Kette minimal.

Answer 1

Liege ich richtig, dass im Zuge der Modellierung mit einer Bernoulli-Kette zahlreiche Vereinfachungen getroffen werden müssen?

Das hängt davon ab, welche Fragen mit dem Modell beantwortet werden sollen.

Der Spieler zieht aus einer Lostrommel mit allen erfassten Spielsituationen 100 mal mit zurücklegen eine Spielsituation. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau 27 Tore sind? Für so eine Frage benötigt man keine Vereinfachung.

Aus welcher Spielsitutation (bestehend aus Torentfernung, Winkel zum Tor und Anzahl der noch zu überwindenden Gegenspieler) ist ein Treffer am wahrscheinlichsten? Dafür ist das Modell vollkommen ungeeignet. Da helfen auch keine Vereinfachungen.

Ist die Warscheinlichkeit von p=0,3 fest?

Ja.

Da diese ja auf einer relativen Häufigkeit fußt, verändert sich diese ja strenggenommen während der einzelnen Stufen einer solchen Bernoull-Kette minimal.

Nein. Wenn sie sich die Wahrscheinlichkeit ändern würde, dann wäre es keine Bernoulli-Kette.

Comments

Nein. Wenn sie sich die Wahrscheinlichkeit ändern würde, dann wäre es keine Bernoulli-Kette.

Aber das ist ja gerade die Frage. Korrekt ist doch, dass sich die relativen Häufigkeiten durch erneute Torschüsse ändern.

Sprich streng ist es keine Bernoulli-Kette. Aber, da sich die Relative Häufigkeit so gering ändert (Gesetz der großen Zahlen) können wir mit einer Bernoulli-Kette annähern?

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Der Spieler zieht aus einer Lostrommel mit allen erfassten Spielsituationen 100 mal mit zurücklegen eine Spielsituation. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau 27 Tore sind? Für so eine Frage benötigt man keine Vereinfachung.

Sprich in der Lostrommel wären sozusagen 30 % weiße Kugeln und 70% Schwarze Kugeln.

auf den jeweiligen Kugeln würden dann noch solche Infos stehen wie z.B.: Kein Gegenspieler außer Torwart und Abschluss näher als 5m ?

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Für einen Eishockeyspieler werden über 20 Jahre seiner Karriere dessen Torschüsse und Treffer gezählt. Dabei werden noch solche Schüsse gewertet, die aus dem regulären Spielbetrieb entstanden (also keine Penaltys, etc.). Demnach hatten die Schüsse unterschiedliche Entfernungen, Gegenereinwirkungen und  sicherlich auch psychische Einflüsse (bspw. Zeit im Spiel, aktueller Spielstand, etc.).

Und könnte man mit obiger Information folgende Frage beantworten?

X sei die Anzahl an Treffern :

Wie wahrscheinlich ist es, dass er von 10 Schüssen in einem Spiel genau 4 Treffer erzielt?

--> Ohne, dass genauere Infos zum Ort und Umständen des Schusses vorliegen?

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Wie wahrscheinlich ist es, dass er von 10 Schüssen in einem Spiel genau 4 Treffer erzielt?

p = 0,3 wurden ermittelt gegen Mannschaften unterschiedlicher Spielstärken. In einem Spiel gibt es nur eine bestimmte Mannschaft als Gegener. Ist die schlecht, dann steigt p und umgekehrt.

p = 0,3 wurde ermittelt über einen Zeitraum von 20 Jahren. Das Spiel findet aber in einem viel engeren Zeitraum statt. Aufgrund der Entwicklung des Spielers während dieser Zeit (nachlassende körperliche Fähigkeiten, größere Spielerfahrung) kann sich die Trefferwahrscheinlichkeit ändern. Auch Schwankungen in der Tagesform können zu einer Änderung führen.

Ich verstehe zu wenig von Eishockey, um beurteilen zu können, ob diese Faktoren so relevant sind, dass sie gegen die Verwendung der Binomialverteilung sprechen. Für eine grobe Schätzung wird es wohl reichen.