Hallo hab folgende Aufgabe:
$$f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, f_n(x) = \frac{nx^2}{1+nx^2}$$ Zeige:
1. \( f_n \) konvergiert punktweise auf \( \mathbb{R} \)
2. \( f_n \) konvergiert nicht gleichmäßig auf \( \mathbb{R} \)
3. \( f_n \) konvergiert gleichmäßig auf \( D_a = \{x \in \mathbb{R} : |x| \geq a \} \) für alle \( a > 0 \)
Lösung:
1. \( f_n(x) = \frac{nx^2}{1+nx^2} = \frac{x^2}{\frac{1}{n}+x^2}\rightarrow 1 \text{ für } n \rightarrow \infty \)
Reicht es für dir punktweise Konvergenz aus, den Grenzwert zu bilden?
2. \( f_n(0) = 0 \) somit ist \( ||f_n - f||_\mathbb{R}=sup_\mathbb{R}|f_n-1| \geq 1 \neq 0 \) Also nicht gleichmäßig konvergent, könnte man statt null aber nicht auch \( f_n(\frac{1}{\sqrt{n}})=\frac{1}{2} \) verwenden. Die Supremumsnorm würde auch so nicht gegen Null streben und die Konvergenz wäre nicht gleichmäßig, aber \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) wäre in der Menge aus 3., also stimmt etwas an dieser Argumentation nicht?
3. Ist \( D_a = \mathbb{R} -\{0\} \)? Ich weiß nicht, wie ich diesen Teil lösen kann.
