Beweisen oder Widerlegen Linearkombinationen

Question

Im Folgenden betrachten wir Vektoren aus dem Q-Vektorraum Q3 bzw. Q[X]. Beweisen oder
widerlegen Sie folgende Aussagen; argumentieren Sie kleinschrittig und geben Sie detaillierte Begründungen.
(a)     \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) ∈ ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)⟩

b)

2\( x^{3} \) + 4\( x^{2} \) ∈ ⟨ 1\( X^{3} \) + 4\( X^{2} \)- 4X +1 , - 1\( X^{2} \) + X + 1,2 X + 1,1. ⟩

Answer 1

Zu a)

Untersuche dafür dieses LGS auf Lösbarkeit:

$$a\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1 \end{pmatrix}$$

oder anders geschrieben:

\((1)\quad a+b=1\\(2)\quad 2a+b=-1\\(3)\quad 3a+b=1 \)

Zu b)

Im Prinzip dasselbe wie bei a) machen: LGS lösen; wird in diesem Zusammenhang auch gerne Koeffizientenvergleich genannt.

$$ 2\cdot x^3+4\cdot x^2+0\cdot x+0\\=2\cdot x^3+4\cdot x^2\\=a\cdot (x^3+4x^2-4x+1)+b\cdot (-x^2+x+1)+c\cdot (2x+1)+d\cdot 1\\=a\cdot x^3+(4a-b)\cdot x^2+(-4a+b+2c)\cdot x+(a+b+c+d) $$

Damit kannst du nun folgendes LGS aufstellen und auf Lösbarkeit überprüfen:

$$ \begin{aligned}&(1)\quad a&=2\\&(2)\quad 4a-b&=4\\&(3)\quad -4a+b+2c&=0\\&(4)\quad a+b+c+d&=0\end{aligned} $$

Comments

vielen Dank für die Antwort.

Ich komm bei aufgabe 1 auf keine Lösung, stimmt das ?

mfg

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Sehr gut. Was heißt das also für die Aussage aus a)?

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\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)  ∉ <  \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \)  ist oder nicht? 

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Genauso ist es.