Aloha :)
Die Determinate der Matrix hat was dagegen, dass der Rang 4 ist, die Determinante ist nämlich \(=0\).
$$\left(\begin{array}{r}{} & -2S_1 & +S_1 &-2S_1\\\hline1 & 2 & -1 & 2\\2 & 4 & 0 & 8 \\-1 & 2 & -4 & -4\\1 & -2 & 2 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}{} & & &-2S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 2 & 4 \\-1 & 4 & -5 & -2\\1 & -4 & 3 & -2\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{r}{} & & +S_2 &-2S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 2 & 0 \\-1 & 4 & -5 & 8\\1 & -4 & 3 & -8\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}{} & & &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 2 & 0 \\-1 & 4 & -1 & 0\\1 & -4 & -1 & 0\end{array}\right)$$Der Rang der Matrix ist \(3\). Da die erweiterte Matrix nur noch eine Nullspalte beisteuert, ist auch der erweiterte Rang \(3\).
Die Matrix bei c) ist dieselbe, hat also auch den Rang \(3\). Wenn ich die letzte Spalte der Matrix durch die Ergebnisspalte ersetze, ehalte ich als Determinate \(32\). Der erweiterte Rang ist in diesem Fall also \(4\).
