Wie kann ich hier das hinreichende Kriterium anwenden?

Question

ich bin gerade an dieser Aufgabe dran:

f(x,y)=6xy²-2x³-3y⁴

und habe unter anderem den Punkt (0,0) als kritische Stelle gefunden.

Habe nun diese Hesse-Matrix aufgestellt:

$$H_{f=}\begin{pmatrix} -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^{2} \end{pmatrix}$$

Und für (0,0) kommt die Nullmatrix heraus. Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich das hinreichende Kriterium anwenden muss. Kann man von vorneherein sagen, dass an dieser Stelle keine Extremstelle vorliegt? Weil die Nullmatrix ja weder positiv noch negativ definit ist....

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Hallo,

betrachte f(x,0)=-2x^3.

Kann dort ein lokales Minimum/Maximum vorliegen?

Comments

Hallo und danke für deine antwort,

ich weiß nicht, ob du das meinst, aber für x=0 wäre das ja wieder 0...

Aber was genau hat das mit der Determinante zu tun?

---

Das die Hessematrix hie keine Aussage liefert, hat Tschakabumba bereits geschrieben. Über Determinanten haben wir bisher auch noch nicht gesprochen.

ich weiß nicht, ob du das meinst, aber für x=0 wäre das ja wieder 0

Das meine ich wirklich nicht. Nach was sieht

~plot~ -2x^3 ~plot~

an der Stelle x=0 aus?

Minimum, Maximum, Sattelpunkt ?

---

Sattelpunkt:D Danke

Answer 2

Aloha :)

Das Schöne an der Hesse-Matrix ist, dass sie sehr aussagekräftig ist:

\(H(x,y)\) positiv definit => lokales Minimum bei \((x|y)\)

\(H(x,y)\) negativ definit => lokales Maximum bei \((x|y)\)

\(H(x,y)\) indefinit => Sattelpunkt bei \((x|y)\)

Die Hesse-Matrix ist hier für \((0|0)\) die Nullmatrix. Die Nullmatrix ist sowohl positiv semidefinit als auch negativ semidefinit. Und genau für diese Fälle kann man die Hesse-Matrix nicht als hinreichendes Kriterium heranziehen.