wie entscheide ich welches Kriterium bei Grenzwerten anwende?

Question

Untersuche, ob die folgende Reihe konvergiert:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{7} \cdot \frac{2^{n}}{3^{n}} \)

Lösungsweg:
Verwende das Wurzelkriterium, da \( a_{n} \) von der Form \( (\ldots)^{n} \) ist!
Berechne zunächst \( \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \) :
\( \begin{aligned} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} & =\sqrt[n]{\left|n^{7} \cdot \frac{2^{n}}{3^{n}}\right|} \\ & =\sqrt[n]{n^{7}} \cdot \frac{2}{3} \\ & =(\sqrt[n]{n})^{7} \cdot \frac{2}{3} \end{aligned} \)

Bilde nun den Grenzwert von \( \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \) :
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \\ & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(\sqrt[n]{n})^{7} \cdot \frac{2}{3} \end{aligned} \)

Ziehe den Limes in die Klammer:
\( =\frac{2}{3} \cdot\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}\right)^{7} \)

Nutze, dass gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 \) (bekannte Folge):
\( \begin{array}{l} =\frac{2}{3} \cdot 1^{7} \\ =\frac{2}{3}<1 \end{array} \)

Frage: Wie kann ich das durch das Quotientenkriterium lösen? bzw. wie entscheide ich welches Kriterium ich anwende?

Comments

Wie kann ich das durch das Quotientenkriterium lösen?

Ist vielleicht eine provokante Antwort, aber: Wende es an.

Wenn du an Doppelbrüchen und Potenzgesetzen nicht scheiterst, kommst du auf

\( \frac{2}{3}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1})^7 \).

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danke, habe es hinbekommen. Frage:

kann ich 2^{n+1} vom Zähler in den Nenner (2^{-n-1})tun? oder könnte ich das nur bei 2^n?

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Kannst Du - Potenzrechenregeln.

Answer 1

wie entscheide ich welches Kriterium ich anwende?

Wikipedia hat einen Entscheidungsbaum im Artikel über Konvergenzkriterien:

Entscheidungsbaum_zur_Konvergenz_und_Divergenz_von_Reihen.svg (0,2 MB)

Answer 2

Im ersten Satz des Lösungswegs steht ja ein Hinweis, wie man sich für ein Kriterium entscheiden kann. Im Prinzip ist das aber eine Übungssache, da gibt es keine Abkürzung.

Das Quotientenkriterium geht hier auch leicht durch - hast Du's probiert? - und man erhält als Grenzwert 2/3. Fang mal an und lade bei Rückfragen Deinen Rechenweg hoch.

Aus Deinen letzten Fragen scheint mir, dass Dein Problem eher elementare Termumformungen sind (Bruchrechnung, Potenzrechenregeln). Es ist sinnvoll, dass Du erstmal dazu viele Übungsaufgaben rechnest, dann wird es auch mit den Aufgaben zu Konvergenz, Reihen usw. einfacher.

Comments

Vielen Dank. Weißt du evt. wo ich gute Aufgaben zum Üben von den Basics finden kann?

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Schau mal nach Büchern mit "Vorkurs" im Titel. Die wiederholen den Schulstoff und haben auch Übungsaufgaben.

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Fast jede Universität hat auch den ein oder anderen Brückenkurs im Angebot.

https://www.ombplus.de

Das ist einer der bekanntesten, der von einer Reihe von Universitäten genutzt wird.

Ansonsten haben viele Universitäten auch Aufgabensammlungen mit Lösungen im Internet zur Übung und Selbstkontrolle.

Answer 3

Hallo.

Das Quotientenkriterium geht analog. Da bildest du die Quotientenfolge |a(n+1) / a(n)|.

In dem Falle gilt:

|a(n+1) / a(n)| = a(n+1) / a(n) = ((n+1)^7 3^n 2^(n+1)) / (n^7 3^(n+1) 2^n) = (2/3) ((n+1)/n)^7 —> 2/3 < 1 für n —> unendlich, da lim ((n+1)/n)^7 = (lim(n+1)/n)^7 = 1^7 = 1 ist.

Also siehst du der Grenzwert der Quotientenfolge ist derselbe wie der von der Wurzelfolge. Das spielt also keine Rolle, welches Kriterium du nutzt. Manchmal eignet sich das eine halt bischen besser, was die Schwierigkeit des Berechnen vom Grenzwert angeht. Bei solchen n-Potenzen würde ich halt eher zum Wurzelkriterium tendieren, da du da vieles rauskürzen kannst, aber bei z.B. Fakültäten ist das Quotientenkriterium i.A. besser geeignet.

Da der Grenzwert 2/3 < 1 ist, konvergiert die Reihe absolut.

Comments

Das gilt auch i.A. das die Grenzwerte dieselben sind.

Das ist eine gewagte Aussage.

Bitte überleg auch mal wie sinnvoll es ist eine Aufgabe detailliert vorzurechnen, die der Fragesteller anscheinend noch nicht mal versucht hat und, die er, wenn er mal anfängt, sie mit Hilfe auch selbst bewältigen könnte, was ja viel lehrreicher wäre.

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Stimmt die Grenzwerte müssen nicht gleich sein. Ich habe das mit dem Konvergenzradius verwechselt. (Habe es korrigiert)

Es ist doch nicht so schlimm ihm das vorzurechnen. Man muss ja nicht immer alles selbst machen und kann auch bischen von soetwas lernen. Wenn er es komplett selbst machen möchte, schaut er dann einfach nicht drauf… bzw. danach erst

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Man muss ja nicht immer alles selbst machen und kann auch bischen von soetwas lernen.

Hallo Txman,

am unteren Rand dieser Webseite erscheint bei jedem Seitenaufruf ein Spruch. Einer davon ist

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Da hast Du Recht. Jedoch sollte man wie erwähnt meins nur für eine vergleichbare Lösung dienen…

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Er hat ja gar nichts zum Vergleichen. Und mal ehrlich: würdest Du, wenn Du eine Vergleichslösung hast, sagen "gut, dass ich die habe, die lese ich aber gar nicht, sondern versuch es erstmal selbst?" 

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Ich frage mich ernsthaft, wo die Leute das herhaben, dass man durch Musterlösungen so viel lernen würde. Häufig erlebt man es doch schon, dass Musterlösungen gar nicht erst verstanden werden. Und warum nicht? Weil man das Handwerk der Mathematik einfach nicht beherrscht. Und warum nicht? Weil man es nicht übt. Und warum nicht? Weil man sich nur Musterlösungen anschaut... Da werden dann einfachste Zusammenhänge nicht erkannt, darunter Kürzen von Brüchen, Ausklammern von Faktoren, etc.

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Ja, genauso ist es. Ich glaube man kann hier Txman aber mangelnde Erfahrung in der Lehre zugute halten.

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Das mag sein. Aber das hatte ich in dem großen Beitrag von MC schon erwähnt: Wenn man jemanden aufgrund bestimmter Punkte kritisiert, darf man sich - sofern diese Kritik auch konstruktiv und berechtigt ist - auch mal ein paar Gedanken darüber machen.

Seine Beiträge sind aufgrund des fehlenden Formelsatzes leider sehr unübersichtlich und daher schon von Natur aus wesentlich schwieriger nachzuvollziehen/zu lesen. Es bietet sich hier also wirklich als Übung an, sich einmal mit LaTeX zu beschäftigen.

Positiv ist allerdings, dass er seine Ausführungen wenigstens ausführlich kommentiert im Gegensatz zu anderen, die es nicht für nötig halten, auch nur einen einzigen Kommentar zu schreiben.

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"gut, dass ich die habe, die lese ich aber gar nicht, sondern versuch es erstmal selbst?"

Wie ich bereits mehrfach erwähnt habe, gibt es Bücher für das Selbststudium, die Kontrolllösungen enthalten. Glaubst du, dass die Herausgeber solcher Bücher sich keine Gedanken darüber machen, ob diese Lösungen möglicherweise kontraproduktiv sind?

In unserem Studium haben wir unter anderem von Altklausuren gelernt, zu denen wir manchmal eine Kontrolllösung hatten – allerdings nur eine Lösung ohne detaillierte Rechenwege. Wir haben die Kontrolllösungen sehr geschätzt, denn wenn man eine Aufgabe selbst bearbeitet, kann man sie anschließend sehr schnell und einfach mit der Kontrolllösung vergleichen.

Natürlich ist klar, dass ein richtiges Ergebnis nicht zwangsweise heißen muss, dass man die Aufgabe auch richtig bearbeitet hat. Aber bei einer Nichtübereinstimmung sollte man also zunächst mal die eigene Lösung sorgfältig prüfen.

Wenn man also Übungsaufgaben zur Verbesserung seiner Fähigkeiten löst, sind Kontrolllösungen äußerst hilfreich. Wenn man jedoch nur die Aufgaben bearbeitet, ohne echtes Interesse, sondern lediglich aus der Pflicht heraus, besteht die Gefahr, dass die Musterlösungen nur abgeschrieben werden.

Aber jemanden der ohnehin Aufgaben nur aus Pflicht macht, wird man nicht umerziehen, indem man keine Kontroll-Lösungen anbietet.

Wenn ich allerdings Webseiten mit Übungsaufgaben empfehlen soll, dann empfehle ich grundsätzlich nur Seiten mit Kontroll-Lösungen. Und fast jeder Mathelehrer, der Übungsaufgaben auf seiner Seite hat, hat zu diesen auch die Kontroll-Lösungen online.

Ich möchte auch keine Grundsatzdiskussionen führen, ob Kontroll-Lösungen gut oder schlecht sind. Dazu hat jeder seine eigene Meinung und die darf und soll er auch gerne behalten, aber eben auch die Meinungen der anderen akzeptieren, die eben anders denken.

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wenn man eine Aufgabe selbst bearbeitet, kann ...

Wenn man also Übungsaufgaben zur Verbesserung seiner Fähigkeiten löst,

Tja, wenn, wenn, wenn...

Ist hier aber oft nicht gegeben und wird nicht abgewartet.

Aber jemanden der ohnehin Aufgaben nur aus Pflicht macht, wird man nicht umerziehen, indem man keine Kontroll-Lösungen anbietet.

Stichwort "Kollegialität": ... "umerziehen": Lass doch bitte die ständigen abfälligen Bemerkungen gegenüber denen, die das anders sehen, vor allem wenn Du gleichzeitig Toleranz forderst.

Einige Helfer möchten eben Hilfe zur Selbsthilfe anbieten. Dass Du das nicht willst, ist für mich unverständlich, aber ist dann halt so.

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Seine Beiträge sind aufgrund des fehlenden Formelsatzes leider sehr unübersichtlich und daher schon von Natur aus wesentlich schwieriger nachzuvollziehen/zu lesen. Es bietet sich hier also wirklich als Übung an, sich einmal mit LaTeX zu beschäftigen.

Da muss ich dagegenhalten, das Lernspychologisch es effektiver ist eben kein Latex zu benutzen. Je mehr der Lernende sich mit etwas beschäftigen muss, desto besser wird etwas verinnerlicht.

Wird also im Unterricht etwas an der Tafel kopfüber geschrieben, beschäftigt sich das Gehirn mehr damit und beim Abschreiben lernt man dadurch besser.

Genauso ist es bei Mathelösungen, die nicht als Latex abschreibfertig so dastehen. Jemand muss sich also beim reinen Abschreiben zumindest die Mühe machen jeden Term mathematisch ordentlich und nicht in Zeilennotation zu notieren.

Ein weiterer Grund warum ich das mache ist, dass ich selber viele Aufgaben in Google Docs speicher und man dort von Haus aus kein Latex zur Verfügung hat. D.h. ich kann Antworten nicht ohne weiteres kopieren.

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Lass doch bitte die ständigen abfälligen Bemerkungen gegenüber denen, die das anders sehen, vor allem wenn Du gleichzeitig Toleranz forderst.

Was war daran bitte abfällig?

Wie gesagt:

Dazu hat jeder seine eigene Meinung und die darf und soll er auch gerne behalten

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Wenn man den Unterschied zwischen Musterlösung und Kontrolllösung nicht kennt, sollte man sich lieber aus der Diskussion zurückziehen. Gegen eine Angabe von Kontrolllösungen spricht nichts, mache ich auch gelegentlich. Eine Musterlösung enthält meiner Ansicht nach aber auch einen meist vollständigen Rechenweg.

Da muss ich dagegenhalten, das Lernspychologisch es effektiver ist eben kein Latex zu benutzen. Je mehr der Lernende sich mit etwas beschäftigen muss, desto besser wird etwas verinnerlicht.

Damit widersprichst du deiner eigenen Argumentation, wie toll und hilfreich Musterlösungen doch sind. Ansonsten aber ein guter Punkt, der eben auch ein Gegenargument für Musterlösungen ist.

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"abfällig": Du weißt sehr wohl, was ich meine, und es ist auch nicht das erste Mal. Halte den Leser nicht für so blöd, dass er Deine Intoleranz nicht bemerken würde.

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Damit widersprichst du deiner eigenen Argumentation, wie toll und hilfreich Musterlösungen doch sind. Ansonsten aber ein guter Punkt, der eben auch ein Gegenargument für Musterlösungen ist.

Dieses Eigentor von MC fiel mir auch sofort auf.