Z.z. Mat( 5× 5, F5) ist diagonalisierbar

Question

Hallo liebe Comunity,

ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter, und würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 \\ 1& 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ Mat( 5× 5, F5)

Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist!

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man erst den char.polynom bestimmen soll, aber ich mache etwas falsch..Ich habe probiert (3 mal) mit dem Laplace-Entwicklungssatz aber ich bekomme die Lösung als : -λ-λ^4 und wenn ich das im Wolfram prüfe kommt was anderes raus.. Ich hoffe jemand kann mir hier weiter helfen, dafür wäre ich sehr dankbar. :)

Answer 1

Entwicklung nach der 5. Zeile  gibt  ( Ich nehme x statt Lambda)

-x* det von  -x    1     0     0
                    0     -x    1     0
                    0     0     -x     1
                    1     0     0      -x

dieses nach der 1 Spalte entwickelt gibt

=  -x *  (    -x * det    -x    1     0         -  1 *   det     1     0     0           )                         
                                0     -x     1                              -x    1     0 
                                0     0      -x                              0     -x     1

und die 3er Determinaten kannst du ja mit dem Diagonalprodukt  berechnen, das gibt

=  -x *  (    -x * -x^3        -   1 *  1       )

= -x *( x^4  - 1 )  = -x^5 + x

Comments

Achso, jetzt habe ich meinen Fehler erkannt und es auch verstanden. Vielen Dank!