Mach doch mal erst wie über dem Körper IR den Ansatz
det ( A - x *E ) = 0
-x^3 + 9x - 14x - 24 = 0
-(x-4) * ( x^2 - 5x - 6 ) = 0
Da -4 kongr. 1 und 5 kongr 0 und -6 kongr. -1 ist das
-( x+1) * ( x^2 -1 ) = 0
-(x+1)*(x-1)*(x+1)=0
Also Eigenwerte -1 und +1 bzw. 4 und 1.
Und nun
A * x = - x und A * x = x lösen gibt
dann als homogenes System erstens
3 1 4
0 0 0
3 1 4
x1 = r x2 = s 3r + s = -4x3 = x3 (wegn F5)
also eigenvektoren ( r, s , 3r+s) = (r,0,2r) + (o,s,s) = r*(1,0,3) + s*(0,1,1)
Also sind schon mal (1,0,2) ,(0,1,1) 2 lin. unabh. Eigenvektoren zum Eigenwert -1
zum EW 1
A * x = x
1 1 4
0 3 0
3 1 2 |+ 1. Zeile
1 1 4
0 3 0
4 2 1 | + 1. Zeile
1 1 4
0 3 0
o 3 0 | - 2. zeile
1 1 4
0 3 0
o 0 0 Also etwa x1=t x2=0 x3=t
eigenvektor (t ,0 , t ) = t*(1,0,1)
Also hast du jetzt drei lin. unabh. Eigenvektroen
(1,0,1) und (1,0,3) ,(0,1,1)
und damit ist A diagonalisierbar
und die Tranformationsmatrix ist durch die
Spalten der Eigenvektoren t=
1 1 0
0 0 1
1 3 1
Kannst ja mal nachrechnen t^- * m * t
gibt "normal" gerechnet
6 15 15/2
0 -1 -5/2
0 0 4
und über F5 ist das ja wirklich eine Diagonalmatrix
1 0 0
0 4 0
0 0 4
wie oben gesehen, zweimal Eigenwert 4 und einmal eine 1.